一个具有 T2 空间拓扑的向量空间，使得向量加法和标量乘法运算是连续的。有趣的例子是无限维空间，例如函数空间。例如，希尔伯特空间和巴拿赫空间都是拓扑向量空间。
拓扑的选择反映了函数收敛的含义。例如，对于积分收敛的函数，使用巴拿赫空间 
，它是 L-p 空间之一。但是，如果对逐点收敛感兴趣，则任何范数都不足以满足。相反，对于每个 
，定义半范数
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在定义于 
上的函数向量空间上。这些半范数定义了一个拓扑，即半范数连续的最小拓扑。因此，
等价于对所有 
，
，即逐点收敛。类似地，可以定义一个拓扑，使得“收敛”意味着在紧集上一致收敛。
