阿廷猜想

至少有两个以阿廷猜想为名的陈述。

如果 是绝对 伽罗瓦群 的复有限维表示 数域，那么阿廷展示了如何关联一个 -函数 。 这些 -函数直接推广了 zeta 函数和狄利克雷 -函数，并且由于 Richard Brauer 的工作，已知 可以扩展到 亚纯函数 在 复平面 上。 阿廷猜想预测它实际上是 全纯的，即没有极点，除了可能在 处有一个极点（Artin 1923/1924）。 与 广义黎曼猜想 比较，后者处理某些 -函数的零点位置。

第二个猜想指出，每个不等于 或 平方数 的 整数 都是模 的原根，对于无限多个 ，并提出了此类 集合的密度，这些密度始终是称为 阿廷常数 的常数的有理倍数。 比尔哈茨已经证明了函数而不是数字的类似定理（Shanks 1993，第 147 页）。