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循环数

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循环数是一个 (n-1)-位数整数，当它被 1, 2, 3, ..., n-1 乘 时，会产生相同的数字，但顺序不同。 循环数由完全循环素数生成，即 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, ... (OEIS A001913)。

给出前几个循环数的十进制展开式为

1/7=0.142857^_
(1)
1/(17)=0.0588235294117647^_
(2)
1/(19)=0.052631578947368421^_
(3)
1/(23)=0.0434782608695652173913^_
(4)

(OEIS A004042)。

CyclicNumberFraction

对于 n=0, 1, 2, ...，小于等于 <=10^n 的循环数的数量为 0, 1, 9, 60, 467, 3617, 25883, 248881, 2165288, 19016617, 170169241, ... (OEIS A086018)。 已经有人猜想，但尚未证明，存在无限个循环数。 事实上，在所有素数中，循环数的比例被猜想为 阿廷常数 C=0.3739558136...。 小于等于 <=10^(10) 的素数中，循环数的比例为 0.3739551。

当一个循环数乘以它的生成元时，结果是一串 9。 这是 米迪定理 的一个特例。

有关 <1370471 的素数的素数周期长度表，请参阅 Yates (1973)。

另请参阅

阿廷常数, 十进制展开式, 完全循环素数, 米迪定理, 唯一素数

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参考文献

Gardner, M. "循环数。" 第 10 章，Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American. 纽约: Knopf, pp. 111-122, 1979.Guttman, S. "关于循环数。" Amer. Math. Monthly 44, 159-166, 1934.Kraitchik, M. "循环数。" §3.7，Mathematical Recreations. 纽约: W. W. Norton, pp. 75-76, 1942.Rao, K. S. "关于奇数的倒数的循环周期的注释。" Amer. Math. Monthly 62, 484-487, 1955.Rivera, C. "问题 & 谜题：谜题 012 - 1/p 的周期长度。" http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_012.htm.Sloane, N. J. A. 序列 A001913/M4353, A004042, 和 A086018，来自 "整数序列在线百科全书"。Yates, S. 给定周期长度的素数。 特隆赫姆，挪威: Universitetsforlaget, 1973.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

循环数

请引用本文为

Eric W. Weisstein. "循环数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/CyclicNumber.html

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