q-模拟

q-模拟，也称为 q-扩张 或 q-推广，是由量 q 参数化的数学表达式，它推广了已知的表达式，并在极限 q->1^- 时简化为已知的表达式。 阶乘、二项式系数、导数、积分、斐波那契数等等都有 q-模拟。 Koornwinder、Suslov 和 Bustoz 甚至设法进行了一些 q-傅里叶分析。 请注意，虽然欧洲作家通常更喜欢英式拼写 “q-analogue”（Koekoek 和 Swarttouw 1998, p. 7; Koepf 1998, p. 26），但美国作家更喜欢较短的 “q-analog”（Andrews et al. 1999, pp. 490 和 496）。 为了避免这种歧义（以及有时存在不止一个 q-模拟的缺陷），术语 q-扩张（Andrews et al. 1999, pp. 483, 485, 487 等）可能更可取。

q-模拟基于以下观察：

(1)

数量 有时写为 (Koekoek 和 Swarttouw 1998, p. 7)。 q-模拟为所有 正交多项式的 Askey-Wilson 分类提供了基础。

通过推广规范对易关系，可以为 q-特殊函数 提供物理动机

(2)

其中 是广义坐标， 是相应的广义动量，推广到

(3)

例如，这立即导致 埃尔米特多项式的 q-模拟。 q-模拟保留（或仅略微改变）控制函数方程的形式，因此出现在许多物理应用中，例如统计力学中的精确模型、非交换几何和多粒子系统。

q-模拟也具有组合解释，基于可以计数集合 的元素以获得数量 这一事实。 然后可以定义所谓的“统计量”，它是在 上的整数值函数，并根据 在元素上取的值将 的元素分成类。 这种关系可以用在新变量（通常取为 ）中编写多项式来概括，其中 的系数是 。 然后在 处评估多项式会将系数加在一起，返回原始的 。

数学对象的 q-模拟 通常称为 “q-对象”，因此有 q-二项式系数、q-阶乘 等等。 如果存在 q-模拟，则通常有几个，有时甚至有多基模拟，具有独立的 、、....。 也定义了其他类型的模拟，例如 d-模拟。