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q-伽玛函数

伽玛函数的 q-模拟，定义为

Gamma_q(x)=((q;q)_infty)/((q^x;q)_infty)(1-q)^(1-x),
(1)

其中 (x,q)_infty 是 q-Pochhammer 符号 (Koepf 1998, p. 26; Koekoek 和 Swarttouw 1998)。 q-伽玛函数满足

lim_(q->1^-)Gamma_q(x)=Gamma(x),
(2)

其中 Gamma(z) 是伽玛函数 (Andrews 1986)。

q-伽玛函数在 Wolfram 语言 中实现为QGamma[z, q].

q-伽玛函数满足以下泛函方程

Gamma_q(z+1)=(1-q^z)/(1-q)Gamma_q(z)
(3)

其中 Gamma_q(1)=1 (Koekoek 和 Swarttouw 1998, p. 10)，简化为

Gamma(z+1)=zGamma(z)
(4)

当 q->1^- 时。 关于泛函方程的一个有趣的恒等式

f(a-b)f(a-c)f(a-d)f(a-e)-f(b)f(c)f(d)f(e) =q^bf(a)f(a-b-c)f(a-b-d)f(a-b-e),
(5)

其中

b+c+d+e=2a
(6)

由下式给出

f(alpha)={sin(kalpha) for q=1; 1/(Gamma_q(alpha)Gamma_q(1-alpha)) for 0<q<1,
(7)

对于任何 k。

另请参阅

伽玛函数, q-贝塔函数, q-阶乘, q-Pochhammer 符号

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Andrews, G. E. "W. Gosper 证明 lim_(q->1^-)Gamma_q(x)=Gamma(x)。" 附录 A，在 q-级数：它们在分析、数论、组合学、物理学和计算机代数中的发展和应用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 11 和 109, 1986.Gasper, G. 和 Rahman, M. 基本超几何级数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Koekoek, R. 和 Swarttouw, R. F. "q-伽玛函数和 q-二项式系数。" §0.3，在超几何正交多项式的 Askey 方案及其 q-模拟中。 Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 10-11, 1998.Koepf, W. 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Wenchang, C. 问题 10226 及解答。“q-三角恒等式。” Amer. Math. Monthly 103, 175-177, 1996.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

q-伽玛函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "q-伽玛函数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-GammaFunction.html

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