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q-二项式定理

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二项式定理的 q-模拟

(1-z)^n=1-nz+(n(n-1))/(1·2)z^2-(n(n-1)(n-2))/(1·2·3)z^3+...
(1)

由下式给出

(1-z/(q^n))(1-z/(q^(n-1)))...(1-z/q) =1-(1-q^n)/(1-q)z/(q^n)+(1-q^n)/(1-q)(1-q^(n-1))/(1-q^2)(z^2)/(q^(n+(n-1))) -...+/-(z^n)/(q^(n(n+1)/2)).
(2)

写成 q-级数，恒等式变为

sum_(n=0)^(infty)((a;q)_n)/((q;q)_n)z^n=((az;q)_infty)/((z;q)_infty)
(3)
=_1phi_0(a;;q,z),
(4)

其中 (a;q)_n 是 q-Pochhammer 符号，而 _rphi_s(a_1,...;b_2,...;q,z) 是 q-超几何函数 (Heine 1847, p. 303; Andrews 1986)。柯西二项式定理是这个一般定理的特例。

另请参阅

二项级数, 二项式定理, 柯西二项式定理, 拉马努金 Psi 和

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参考文献

Andrews, G. E. q-级数：它们在分析、数论、组合数学、物理学和计算机代数中的发展和应用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 10, 1986.Bhatnagar, G. 逆关系、广义双基级数及其 U(n) 扩展。 Ph.D. thesis. Ohio State University, p. 24, 1995.Gasper, G. "q-级数的求和与变换公式的初等推导。" In Fields Inst. Comm. 14 (Ed. M. E. H. Ismail et al. ), pp. 55-70, 1997.Gasper, G. and Rahman, M. 基本超几何级数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 7, 1990.Heine, E. "关于级数 1+((1-q^alpha)(1-q^beta))/((1-q)(1-q^gamma))·x+((1-q^alpha)(1-q^(alpha+1))(1-q^beta)(1-q^(beta+1)))/((1-q)(1-q^2)(1-q^gamma)(1-q^(gamma+1)))·x^2+...的研究." J. reine angew. Math. 34, 285-328, 1847.Koepf, W. 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 26, 1998.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

q-二项式定理

请这样引用

Weisstein, Eric W. "q-二项式定理。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-BinomialTheorem.html

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