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Fine 方程

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q-级数 恒等式

product_(n=1)^(infty)((1-q^(2n))(1-q^(3n))(1-q^(8n))(1-q^(12n)))/((1-q^n)(1-q^(24n)))=((q^2)_infty(q^3)_infty(q^8)_infty(q^(12))_infty)/((q)_infty(q^(24))_infty)
(1)
=1+sum_(k=1)^(infty)(q^k(q^(4k)+1)(q^(6k)+1))/(q^(12k)+1)
(2)
=1+sum_(n=1)^(infty)E_(1,5,7,11)(n;24)q^n
(3)
=1+sum_(n=1)^(infty)(sum_(d|n)(-6/d))q^n,
(4)

其中 (q)_infty 是一个 q-波赫哈默尔符号， E_(1,5,7,11)(n;24) 是 因子 的数量 n 与 1、5、7 和 11 (mod 24) 同余 的数量减去 因子 的数量 n 与 同余 于 -1, -5, -7, 和 -11 (mod 24) 的数量，并且 (-6/d) 是一个 克罗内克符号。

以 q 开头的首几个幂的系数，从 n=0, 1, ... 开始，是 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, ... (OEIS A000377).

参见

q-级数

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参考文献

Andrews, G. E. (Ed.). Percy Alexander MacMahon: Collected Papers, Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press, p. 260, 1986.Andrews, G. E. "Nathan Fine, 1916-1994." Not. Amer. Math. Soc. 42, 678-679, 1995.Sloane, N. J. A. Sequence A000377 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上引用

Fine 方程

请引用为

Weisstein, Eric W. "Fine 方程。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FinesEquation.html

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