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罗杰斯-拉马努金恒等式

对于 |q|<1, 罗杰斯-拉马努金恒等式由下式给出 (Hardy 1999, pp. 13 和 90),

sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2))/((q)_n)=1/(product_(n=1)^(infty)(1-q^(5n-4))(1-q^(5n-1)))
(1)
=1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+3q^6+...
(2)

(OEIS A003114), 以及

sum_(n=0)^(infty)(q^(n(n+1)))/((q)_n)=1/(product_(n=1)^(infty)(1-q^(5n-3))(1-q^(5n-2)))
(3)
=1+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+...
(4)

(OEIS A003106), 其中 (q)_n 是一个 q-Pochhammer 符号。

(◇) 的多项式推广由下式给出

sum_(k=1)^infty(q^(k^2))/((q)_k(q)_(n-k))=sum_(k=1)^infty((-1)^kq^((5k^2-k)/2))/((q)_(n-k)(q)_(n+k))
(5)

以及

sum_(k=1)^infty(2q^(k^2))/((q)_k(q)_(n-k))=sum_(k=1)^infty((-1)^k(1+q^k)q^((5k^2-k)/2))/((q)_(n-k)(q)_(n+k))
(6)

(Petkovšek et al. 1996)。 即使它们看起来是无限级数，但每边只有有限项是非零的，因为当 1/(q)_(n-k)=0 时 k>n. (5) 和 (6) 指定了一个由 n 索引的多项式序列，随着 n 变得越来越大，多项式越来越接近级数 (◇)。 此外，取极限 n->infty 可以在右侧应用 Jacobi 三重积 恒等式后恢复 (◇)。 最后，(5) 和 (6) 实际上是等价的；(6) 是 (5) 的 “对称化” 版本，使用了所谓的 Paule 对称化。

这些恒等式也可以更简洁地写成单个恒等式

1+sum_(k=1)^infty(q^(k^2+ak))/((1-q)(1-q^2)...(1-q^k))=product_(j=0)^infty1/((1-q^(5j+a+1))(1-q^(5j-a+4))),
(7)

对于 a=0, 1。

这些公式有着曲折的历史，罗杰斯 (1894) 在一篇完全被忽视的论文中证明了它们，然后拉马努金在 1913 年之前的某个时候重新发现了它们（没有证明）。 这些公式被传达给麦克马洪，他在他著名的文本中发表了这些公式，但仍然没有证明。 然后，在 1917 年，拉马努金在翻阅期刊时偶然发现了罗杰斯 1894 年的论文。 与此同时，舒尔 (1917) 独立地重新发现了这些恒等式并发表了证明 (Hardy 1999, p. 91)。 Garsia 和 Milne (1981ab) 给出了罗杰斯-拉马努金恒等式的第一个证明，构建了相关划分类别之间的 双射 (Andrews 1986, p. 59)。

Bailey (1947, 1949) 系统地研究和推广了 Rogers 关于罗杰斯-拉马努金型恒等式的工作。

Slater (1952) 发表了一个包含 130 个罗杰斯-拉马努金型恒等式的列表，其中一些是已知的，但许多是新的，归功于 Slater。 下表总结了其中的一些。 请注意，Slater 的表格实际上包含了一些重复列出两次的恒等式，以及一些列出三次的恒等式，这是由于两个不同的起点有时会导致相同的结果，但最终的代数表示可能略有不同。

恒等式编号恒等式名称
42, 41, 40Bailey Mod 9 恒等式
93, 92, 91, 90Dyson Mod 27 恒等式
36, 34Göllnitz-Gordon 恒等式
39=83Jackson-Slater 恒等式
61, 60, 59Rogers Mod 14 恒等式
18, 14罗杰斯-拉马努金恒等式
33, 32, 31Rogers-Selberg 恒等式

Schur 表明 (◇) 具有组合解释，即最小差为 n 且最小差为 >=2 的划分数等于划分为 形式为 5m+1 或 5m+4 的部分 (Hardy 1999, p. 92)。 下表给出了前几个值。

na_n最小差=1,4 (mod 5)
1111
2121+1
3131+1+1
424, 3+14, 1+1+1+1
525, 4+14+1, 1+1+1+1+1
636, 5+1, 4+26, 4+1+1, 1+1+1+1+1+1

(◇) 也有类似的组合解释。

Andrews-Gordon 恒等式 是罗杰斯-拉马努金恒等式的推广。

有一个由下式给出的恒等式序列

1. 两个罗杰斯-拉马努金恒等式 (模 5 上的三重积，超过 (q;q)_infty)。

2. 三个 Rogers-Selberg 恒等式 (模 7 上的三重积，超过 (q^2;q^2)_infty)。

3. (某种程度上) 四个 Bailey Mod 9 恒等式 (模 9 上的三重积，超过 (q^3;q^3)_infty)。

4. Andrews (1975) 提出的五个恒等式，类型为 (模 11 上的三重积，超过 (q^4;q^4)_infty)，但级数表示是双级数，因此不如其他恒等式优雅。

5. 模 13 上的六个双级数展开，类型为 (q^5;q^5)_infty 型乘积。

这里，“某种程度上” 指的是在 A(q) 和 B(q) 之间，存在一个“恒等式”，其中乘积侧包含 (q^3,q^6,q^9;q^9)_infty/(q^3;q^3)_infty，因此该恒等式简化为 1=1，因此未列出。

还有一个由下式给出的不同恒等式序列

1. 罗杰斯-拉马努金恒等式 (模 5×1=5 的 2 个恒等式)。

2. Rogers Mod 14 恒等式 (模 7×2=14 的 3 个恒等式)。

3. Dyson Mod 27 恒等式 (模 9×3=27 的 4 个恒等式)。

序列中的下一个将是模 11×4=44 的 5 个恒等式。A. Sills 推导出了这些恒等式的级数展开，但它太复杂了以至于他没有发表 (A. Sills, 私人通信，2005 年 3 月 16 日)。

另请参阅

Andrews-Gordon 恒等式, Andrews-Schur 恒等式, Bailey Mod 9 恒等式, Dougall-Ramanujan 恒等式, Dyson Mod 27 恒等式, Göllnitz-Gordon 恒等式, Gordon's 划分定理, Jackson-Slater 恒等式, Rogers Mod 14 恒等式, Rogers-Ramanujan 连分数, Rogers-Selberg 恒等式, Schur's 划分定理

此条目的部分内容由 Andrew Sills 贡献

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参考文献

Andrews, G. E. "On Rogers-Ramanujan Type Identities Related to the Moduls 11." Proc. London Math. Soc. 30, 330-346, 1975.Andrews, G. E. "The Hard-Hexagon Model and Rogers-Ramanujan Type Identities." Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 78, 5290-5292, 1981.Andrews, G. E. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Vol. 2: The Theory of Partitions. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 109 and 238, 1984.Andrews, G. E. q-Series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics, and Computer Algebra. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 17-20, 1986.Andrews, G. E. and Baxter, R. J. "A Motivated Proof of the Rogers-Ramanujan Identities." Amer. Math. Monthly 96, 401-409, 1989.Andrews, G. E. and Santos, J. P. O. "Rogers-Ramanujan Type Identities for Partitions with Attached Odd Parts." Ramanujan J. 1, 91-99, 1997.Andrews, G. E.; Baxter, R. J.; and Forrester, P. J. "Eight-Vertex SOS Model and Generalized Rogers-Ramanujan-Type Identities." J. Stat. Phys. 35, 193-266, 1984.Bailey, W. N. "Some Identities in Combinatory Analysis." Proc. London Math. Soc. 49, 421-435, 1947.Bailey, W. N, "Identities of the Rogers-Ramanujan type." Proc. London Math. Soc., 50, 421-435, 1949.Bressoud, D. M. Analytic and Combinatorial Generalizations of the Rogers-Ramanujan Identities. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1980.Fulman, J. "The Rogers-Ramanujan Identities, The Finite General Linear Groups, and the Hall-Littlewood Polynomials." Proc. Amer. Math. Soc. 128, 17-25, 1999.Garsia, A. M. and Milne, S. C. "A Method for Constructing Bijections for Classical Partition Identities." Proc. Nat. Acad. Sci. USA 78, 2026-2028, 1981a.Garsia, A. M. and Milne, S. C. "A Rogers-Ramanujan Bijection." J. Combin. Th. Ser. A 31, 289-339, 1981b.Guy, R. K. "The Strong Law of Small Numbers." Amer. Math. Monthly 95, 697-712, 1988.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, pp. 13 and 90-99, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Rogers-Ramanujan Identities." §19.13 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 290-294, 1979.MacMahon, P. A. Combinatory Analysis, Vol. 2. New York: Chelsea, pp. 33-36, 1960.Mc Laughlin, J.; Sills, A. V.; and Zimmer, P. "Dynamic Survey DS15: Rogers-Ramanujan-Slater Type Identities." Electronic J. Combinatorics, DS15, 1-59, May 31, 2008. http://www.combinatorics.org/Surveys/ds15.pdf.Paule, P. "Short and Easy Computer Proofs of the Rogers-Ramanujan Identities and of Identities of Similar Type." Electronic J. Combinatorics 1, No. 1, R10, 1-9, 1994. http://www.combinatorics.org/Volume_1/Abstracts/v1i1r10.html.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, p. 117, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Ramanujan, S. Problem 584. J. Indian Math. Soc. 6, 199-200, 1914.Robinson, R. M. "Comment to: 'A Motivated Proof of the Rogers-Ramanujan Identities.' " Amer. Math. Monthly 97, 214-215, 1990.Rogers, L. J. "Second Memoir on the Expansion of Certain Infinite Products." Proc. London Math. Soc. 25, 318-343, 1894.Rogers, L. J. "On Two Theorems of Combinatory Analysis and Some Allied Identities." Proc. London Math. Soc. 16, 315-336, 1917.Rogers, L. J. "Proof of Certain Identities in Combinatory Analysis." Proc. Cambridge Philos. Soc. 19, 211-214, 1919.Schur, I. "Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche." Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Klasse, pp. 302-321, 1917.Slater, L. J. "Further Identities of the Rogers-Ramanujan Type." Proc. London Math. Soc. Ser. 2 54, 147-167, 1952.Sloane, N. J. A. Sequences A003106/M0261, A003114/M0266, and A006141/M0260 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. "A New Proof of the Rogers-Ramanujan Identities." J. London Math. Soc. 4, 4-9, 1929.Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (VII): Theorems on Continued Fractions." J. London Math. Soc. 4, 39-48, 1929.

在 Wolfram|Alpha 中引用

罗杰斯-拉马努金恒等式

引用为

Sills, Andrew 和 Weisstein, Eric W. “罗杰斯-拉马努金恒等式。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Rogers-RamanujanIdentities.html

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