和的分布 
的 
个在区间上的均匀变量 ![[0,1]](/images/equations/UniformSumDistribution/Inline3.svg)
可以直接找到为
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(1)
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其中 
是一个 delta 函数。
一个更优雅的方法是使用 特征函数 来获得
=1/(2(n-1)!)sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)(u-k)^(n-1)sgn(u-k),](/images/equations/UniformSumDistribution/NumberedEquation2.svg) |
(2)
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其中傅里叶参数取为 
。前几个值 
然后由下式给出
 |  | ![1/2[sgn(1-u)+sgnu]](/images/equations/UniformSumDistribution/Inline9.svg) |
(3)
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 |  | ![1/2[(-2+u)sgn(-2+u)-2(-1+u)sgn(-1+u)+usgnu]](/images/equations/UniformSumDistribution/Inline12.svg) |
(4)
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 |  | ![1/4[-(-3+u)^2sgn(-3+u)+3(-2+u)^2sgn(-2+u)-3(-1+u)^2sgn(-1+u)+u^2sgnu]](/images/equations/UniformSumDistribution/Inline15.svg) |
(5)
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 |  | ![1/(12)[(-4+u)^3sgn(-4+u)-4(-3+u)^3sgn(-3+u)+6(-2+u)^3sgn(-2+u)-4(-1+u)^3sgn(-1+u)+u^3sgnu],](/images/equations/UniformSumDistribution/Inline18.svg) |
(6)
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如上图所示。
有趣的是，从均匀分布中选取一个数字 
的期望次数 
在 ![[0,1]](/images/equations/UniformSumDistribution/Inline21.svg)
上，使得和 
超过 1 是 e (Derbyshire 2004, pp. 366-367)。这可以通过注意到以下概率来证明：
个变量之和大于 1，而 
个变量之和小于 1 是
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(7)
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 |  | ![(1-1/(n!))-[1-1/((n-1)!)]](/images/equations/UniformSumDistribution/Inline30.svg) |
(8)
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(9)
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对于 
, 2, ... 的值是 0, 1/2, 1/3, 1/8, 1/30, 1/144, 1/840, 1/5760, 1/45360, ... (OEIS A001048)。首次超过 1 所需的期望选取次数然后简单地是
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(10)
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计算它们的和首次超过 2 所需的期望选取次数更为复杂。在这种情况下，
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(11)
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(12)
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因此，前几项是 0, 0, 1/6, 1/3, 11/40, 13/90, 19/336, 1/56, 247/51840, 251/226800, ... (OEIS A090137 和 A090138)。首次超过 2 所需的期望选取次数然后简单地是
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(13)
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(14)
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(15)
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下表总结了和首次超过整数 
的期望选取次数 
(OEIS A089087)。闭合形式由下式给出
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(16)
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(Uspensky 1937, p. 278)。
