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拉格朗日余项

给定一个泰勒级数

f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f^'(x_0)+((x-x_0)^2)/(2!)f^('')(x_0)+... +((x-x_0)^n)/(n!)f^((n))(x_0)+R_n,
(1)

经过 n 项后的误差 R_n 由下式给出

R_n=int_(x_0)^xf^((n+1))(t)((x-t)^n)/(n!)dt.
(2)

使用均值定理，这可以被重写为

R_n=(f^((n+1))(x^*))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1)
(3)

对于某些 x^* in (x_0,x) (Abramowitz and Stegun 1972, p. 880)。

请注意，拉格朗日余项 R_n 有时也被用来指在泰勒级数中取到 (n-1) 次幂项时的余项，并且有时使用一种表示法，其中 h->x-x_0, x^*->a+thetah, 以及 x-x^*->1-theta (Blumenthal 1926; Whittaker and Watson 1990, pp. 95-96)。

另请参阅

柯西余项, 施勒米尔希余项, 泰勒不等式, 泰勒级数

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (编). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 第 9 版. New York: Dover, 1972.Beesack, P. R. "A General Form of the Remainder in Taylor's Theorem." Amer. Math. Monthly 73, 64-67, 1966.Blumenthal, L. M. "Concerning the Remainder Term in Taylor's Formula." Amer. Math. Monthly 33, 424-426, 1926.Firey, W. J. "Remainder Formulae in Taylor's Theorem." Amer. Math. Monthly 67, 903-905, 1960.Fulks, W. Advanced Calculus: An Introduction to Analysis, 4th ed. New York: Wiley, p. 137, 1961.Nicholas, C. P. "Taylor's Theorem in a First Course." Amer. Math. Monthly 58, 559-562, 1951.Poffald, E. I. "The Remainder in Taylor's Formula." Amer. Math. Monthly 97, 205-213, 1990.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Forms of the Remainder in Taylor's Series." §5.41 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 95-96, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

拉格朗日余项

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "拉格朗日余项。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LagrangeRemainder.html

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