柯西积分公式

柯西积分公式指出

(1)

其中积分是沿围道积分，围道 包围点 。

它可以由考虑围道积分推导得出

(2)

定义路径 为围绕点 的无穷小逆时针圆，并定义路径 为具有切割线的任意环路（前向和反向贡献在切割线上相互抵消），以便绕过 。则总路径为

(3)

因此

(4)

根据柯西积分定理，沿任何不包围极点的路径的围道积分为 0。因此，上述方程中的第一项为 0，因为 不包围极点，我们剩下

(5)

现在，令 ，所以 。则

			(6)
			(7)

但是我们可以自由地让半径 缩小到 0，所以

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

给出 (1)。

如果绕点 进行多次循环，则方程 (11) 变为

(12)

其中 是围道卷绕数。

对于 的导数，也存在类似的公式：

			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

再次迭代，

(18)

继续此过程并添加围道卷绕数 ，

(19)