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泰勒公式

泰勒公式指出，任何满足特定条件的函数都可以用 泰勒级数 表示，

f(x)=f(0)+xf^'(0)+(x^2)/(2!)f^('')(0)+...+(x^(n-1))/((n-1)!)f^((n-1))(0) +int_0^x((x-u)^(n-1))/((n-1)!)f^((n))(u)du.

泰勒公式（不含余项）由泰勒于 1712 年构思并在 1715 年发表，尽管格雷戈里实际上在近 40 年前就已获得此结果。事实上，格雷戈里在 1671 年 2 月 15 日写信给皇家学会秘书约翰·柯林斯，告诉他这个结果。格雷戈里似乎发现该定理的实际笔记存在于格雷戈里于 1671 年 1 月 30 日收到的一位爱丁堡书商的信件背面，该信件保存在圣安德鲁斯大学图书馆。（P. Clive，私人通讯，2005 年 9 月 8 日）。

然而，直到泰勒发表后近一个世纪，拉格朗日和柯西才推导出有限项数后余项的近似值 (Moritz 1937)。这些形式现在被称为 拉格朗日余项 和 柯西余项。

大多数现代证明都基于 Cox (1851) 的证明，该证明比柯西和拉格朗日的证明更基本 (Moritz 1937)，Pringsheim (1900) 将其称为“在简易性和强度方面几乎无可挑剔” (Moritz 1937)。

另请参阅

柯西余项, 拉格朗日余项, 泰勒级数

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参考文献

Cox, H. Cambridge and Dublin Math. J. 6, 80, 1851.Dehn, M. 和 Hellinger, D. "James Gregory 的某些数学成就。" Amer. Math. Monthly 50, 149-163, 1943.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "泰勒公式。" §1.133 in 数学物理方法，第 3 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 50-51, 1988.Malet, A. James Gregorie (1638-1675) 研究。 Ph.D. 论文. Princeton, NJ: Princeton University, 1989.Malet, A. "James Gregorie 论切线和级数展开的 '泰勒' 规则。" Archive for History of Exact Science 46, 97-137, 1993-1994.Moritz, R. E. "关于泰勒公式的注释。" Amer. Math. Monthly 44, 31-33, 1937.Pringsheim, A. "Zur Geschichte des Taylorschen Lehrsatzes." Bibliotheca Math. 1, 433-479, 1900.Todhunter, I. 微分学教程及大量例题，第 10 版。 London: Macmillan, p. 75, 1890.Turnbull, H. W. (Ed.). James Gregory：三百年纪念文集。 London: Bell, 1939.

在 Wolfram|Alpha 上引用

泰勒公式

请引用为

Weisstein, Eric W. "泰勒公式。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/TaylorsTheorem.html

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