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施坦梅茨立體

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施坦梅茨立體是指兩個（或三個）等半徑的直圓柱體以直角相交形成的共同立體。兩個以直角相交的圓柱體稱為雙圓柱體或牟合方蓋（中文意為“兩個方形雨傘”），三個相交的圓柱體稱為三圓柱體。雙圓柱體的一半稱為穹窿。

對於半徑不同的圓柱體以任意角度 beta 中心相交的圓柱體-圓柱體交集的體積，存在閉合形式（Hubbell 1965）。

SteinmetzCylinders2
SteinmetzSolid2

對於半徑為 r 且沿 z- 軸和 x- 軸方向的兩個圓柱體，給出以下方程

x^2+y^2=r^2
(1)
y^2+z^2=r^2
(2)

可以求解 x 和 y，得到立體邊緣的參數方程，

x=+/-z
(3)
y=+/-sqrt(r^2-z^2).
(4)

表面積可以表示為 intxds，其中

ds=sqrt(1+((dy)/(dz))^2)dz
(5)
=r/(sqrt(r^2-z^2))dz.
(6)

將積分範圍取為四分之一或一個面，然後乘以 16 得到

S_2=16int_0^r(rz)/(sqrt(r^2-z^2))dz=16r^2.
(7)

兩個圓柱體的共同體積是阿基米德（Heath 1953，Gardner 1962）和中國數學家祖沖之（Kiang 1972）所知的，並且不需要微積分來推導。然而，使用微積分提供了一個簡單的推導。注意到該立體的橫截面是邊長一半為 sqrt(r^2-z^2) 的正方形，體積由下式給出

V_2(r,r)=int_(-r)^r(2sqrt(r^2-z^2))^2dz=(16)/3r^3
(8)

（Moore 1974）。體積也可以使用柱狀代數分解法找到，該方法將不等式簡化為

{x^2+y^2<1; -L<z<L; y^2+z^2<1; -L<x<L
(9)

為

{-1<x<1; -sqrt(1-x^2)<y<sqrt(1-x^2); -sqrt(1-y^2)<z<sqrt(1-y^2),
(10)

得到積分

V_2(1,1)=int_(-1)^1int_(-sqrt(1-x^2))^(sqrt(1-x^2))int_(-sqrt(1-y^2))^(sqrt(1-y^2))dzdydx=(16)/3.
(11)

如果兩個直圓柱體的半徑不同，分別為 a 和 b，且 a>b，則它們的共同體積為

V_2(a,b)=8/3a[(a^2+b^2)E(k)-(a^2-b^2)K(k)],
(12)

其中 K(k) 是第一類完全橢圓積分，E(k) 是第二類完全橢圓積分，k=b/a 是橢圓模數。

半徑為 a 和 b 的兩個圓柱體相交的每條曲線有時被稱為施坦梅茨曲線。

兩個橢圓柱體的共同體積

(x^2)/(a^2)+(z^2)/(c^2)=1 (y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^('2))=1
(13)

其中 c<c^'，則體積為

V_2(a,c;b,c^')=(8ab)/(3c)[(c^('2)+c^2)E(k)-(c^('2)-c^2)K(k)],
(14)

其中 k=c/c^' (Bowman 1961, 第 34 頁)。

SteinmetzCylinders3
SteinmetzSolid3
SteinmetzSolid3Exploded

對於三個半徑為 r 且以直角相交的圓柱體，形成的立體有 12 個曲面。如果在面相交的地方繪製切平面，結果是一個菱形十二面體（Wells 1991）。交集的體積可以用多種不同的方法計算，

V_3(r,r,r)=16r^3int_0^(pi/4)int_0^1ssqrt(1-s^2cos^2t)dsdt
(15)
=(sqrt(2)r)^3+6int_(r/sqrt(2))^r(2sqrt(r^2-z^2))^2dz
(16)
=8(2-sqrt(2))r^3
(17)

（Moore 1974）。根據小說深夜小狗神秘事件的主人公克里斯托弗所說，“……人們去度假是為了看新事物和放鬆，但這不會讓我放鬆，你可以通過在顯微鏡下觀察地球或繪製當 3 個等厚度的圓棒以直角相交時形成的立體的形狀來看到新事物”（Haddon 2003，第 178 頁），這當然正是由三個對稱放置的圓柱體形成的施坦梅茨立體。

SteinmetzTetrahedra

也可以放置四個圓柱體，其軸線沿著連接四面體的頂點與對邊中心的線。由此產生的交集立體的體積為

V_4=12(2sqrt(2)-sqrt(6))
(18)

和 24 個曲面，類似於立方八面體複合體（Moore 1974，Wells 1991）。

Steinmetz6

可以放置六個圓柱體，其軸線平行於立方體的面對角線。由此產生的交集立體的體積為

V_4=(16)/3(3+2sqrt(3)-4sqrt(2))
(19)

和 36 個曲面，其中 24 個是鳶形，12 個是菱形（Moore 1974）。

參見

圓柱, 圓柱-圓柱交集, 橢圓柱, 勒洛四面體, 菱形十二面體, 直角, 施坦梅茨曲線, 三葉雙曲面, 穹窿

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參考文獻

Angell, I. O. 和 Moore, M. "圓柱體的對稱交集。" Acta Cryst. Sect. A 43, 244-250, 1987.Anton, H. 微積分：新的視界，第 6 版。 紐約: Wiley, 第 871 頁, 1984.Baumann, E. "圓柱體的交集。" http://www.baumanneduard.ch/all_e.htm.Bowman, F. 橢圓函數導論及其應用。 紐約: Dover, 1961.Gardner, M. "數學遊戲：基於棋盤的一些謎題。" Sci. Amer. 207, 151-164, 1962 年 11 月.Gardner, M. 意外的絞刑和其他數學消遣。 芝加哥, IL: Chicago University Press, 第 183-185 頁, 1991.Gray, A. 使用 Mathematica 的曲線和曲面的現代微分幾何，第 2 版。 博卡拉頓, FL: CRC Press, 1997.Haddon, M. 深夜小狗神秘事件。 紐約: Vintage, 2003.Heath, T. L. 阿基米德的方法。 紐約: Dover, 1953.Hubbell, J. H. "兩個相交圓柱體的共同體積。" J. Research National Bureau of Standards--C. Engineering and Instrumentation 69C, 139-143, 1965 年 4 月至 6 月.Kern, W. F. 和 Bland, J. R. 帶證明的立體測量，第 2 版。 紐約: Wiley, 第 128 頁, 1948.Kiang, T. "一種古老的中國球體體積計算方法。" Math. Gaz. 56, 88-91, 1972.Moore, M. "直圓柱體的對稱交集。" Math. Gaz. 58, 181-185, 1974.Trott, M. Mathematica 符號計算指南。 紐約: Springer-Verlag, 第 32-34 頁, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wells, D. 企鵝好奇有趣的幾何詞典。 倫敦: Penguin, 第 118-119 頁, 1991.Wells, D. G. #555 in 企鵝好奇有趣的謎題書。 倫敦: Penguin Books, 1992.

引用為

Weisstein, Eric W. "施坦梅茨立體。" 來自 MathWorld——Wolfram Web 資源。 https://mathworld.net.cn/SteinmetzSolid.html

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