旋转矩阵 -- 来自 Wolfram MathWorld

当讨论旋转时，有两种可能的约定：坐标轴的旋转，以及物体相对于固定坐标轴的旋转。

在中，考虑将给定向量在固定坐标系中逆时针旋转角度的矩阵。那么

(1)

所以

(2)

这是 Wolfram 语言命令使用的约定RotationMatrix[theta]。

另一方面，考虑将坐标系逆时针旋转角度的矩阵。固定向量在旋转坐标系中的坐标现在由一个旋转矩阵给出，该矩阵是固定轴矩阵的转置，并且正如在上面的图中可以看到的，这等效于将向量相对于一组固定轴逆时针旋转角度，得到

(3)

这是教科书中常用的约定，例如 Arfken (1985, p. 195)。

在中，当朝向原点看时，坐标系绕 x-轴、y-轴和 z-轴逆时针方向旋转的矩阵为

			(4)
			(5)
			(6)

(Goldstein 1980, pp. 146-147 和 608; Arfken 1985, pp. 199-200)。

任何旋转都可以表示为绕三个轴旋转的组合（欧拉旋转定理），因此可以用作用于向量的矩阵表示，

[x_1^'; x_2^'; x_3^']=[a_(11) a_(12) a_(13); a_(21) a_(22) a_(23); a_(31) a_(32) a_(33)][x_1; x_2; x_3].

(7)

我们希望对这个矩阵施加条件，使其与正交变换（基本上是旋转或反演旋转）相一致。

在旋转中，向量必须保持其原始长度，因此必须满足

(8)

对于 , 2, 3，其中使用了爱因斯坦求和约定。因此，从变换方程，

(9)

这可以重新排列为

			(10)
			(11)
			(12)

为了使这个成立，必须满足

(13)

对于 , 2, 3，其中是克罗内克 delta。这被称为正交性条件，它保证

(14)

并且

(15)

其中是转置，是单位矩阵。方程 (15) 是赋予正交矩阵名称的恒等式。正交矩阵具有特殊的性质，使得它们可以特别容易地被操作和识别。

设和是两个正交矩阵。根据正交性条件，它们满足

(16)

并且

(17)

其中是克罗内克 delta。现在

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)

因此，两个正交矩阵的乘积也是正交的。

正交旋转矩阵的特征值必须满足以下条件之一

1. 所有特征值都是 1。

2. 一个特征值是 1，另外两个是。

3. 一个特征值是 1，另外两个是复共轭，形式为和。

如果满足以下条件，则正交矩阵被分类为真（对应于纯旋转）

(24)

其中是的行列式，或者如果满足以下条件，则为反演（对应于反演和可能的旋转；反演旋转）

(25)

旋转矩阵

另请参阅

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参考文献

在 Wolfram|Alpha 上引用

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