欧拉角

根据 欧拉旋转定理，任何 旋转 都可以用三个 角来描述。如果 旋转 用 旋转矩阵 、 和 表示，那么一般 旋转 可以写成

给出三个旋转矩阵的三个角称为欧拉角。欧拉角有几种约定，取决于旋转所绕的轴。将矩阵 写成

上面所示的所谓“-约定”是最常见的定义。在这个约定中，由欧拉角 给出的旋转，其中

1. 第一次旋转是绕 z 轴旋转角度 ，使用 ，

2. 第二次旋转是绕先前的 x 轴（现在是 ）旋转角度 ， 在 [0,pi] 范围内，使用 ，以及

3. 第三次旋转是绕先前的 z 轴（现在是 ）旋转角度 ，使用 。

然而，请注意，角的几种符号约定是通用的。Goldstein (1980, pp. 145-148) 和 Landau and Lifschitz (1976) 使用 ，Tuma (1974) 说 在航空工程中用于分析航天器（但声称 用于分析陀螺运动），而 Bate et al. (1971) 使用 。Goldstein 评论说，欧洲大陆的作者通常使用 ，并警告说偶尔也会使用左手坐标系 (Osgood 1937, Margenau and Murphy 1956-64)。Varshalovich (1988, pp. 21-23) 使用符号 或 来表示欧拉角，并给出了三种不同的角度约定，没有一种对应于 -约定。

在这里，使用符号 ，这是一种可以在 6 之前的 Wolfram 语言 版本中使用的约定，如RotationMatrix3D[phi, theta, psi]（可以在加载后运行Geometry`Rotations`）以及RotateShape[g, phi, theta, psi]（可以在加载后运行Geometry`Shapes`）。在 -约定中，分量旋转由下式给出

所以

为了获得 角速度 在本体坐标系中的分量，请注意对于 矩阵

这是成立的

现在， 对应于绕 轴的旋转，所以查看 的 分量，

交点线对应于绕 轴旋转 ，所以查看 的 分量，

类似地，要找到绕剩余轴旋转 ，请查看 的 分量，

结合这些部分得到

更多细节，请参见 Goldstein (1980, p. 176) 和 Landau and Lifschitz (1976, p. 111)。

-约定欧拉角由 Cayley-Klein 参数 表示为

在“-约定”中，

因此，

给出旋转矩阵

并且 由下式给出

在 “ (俯仰-滚转-偏航) 约定”中， 是俯仰角， 是滚转角， 是偏航角。

并且 由下式给出

有时使用一组参数代替角，即 欧拉参数 、 、 和 ，定义为

使用 欧拉参数（它们是四元数），可以由下式描述任意旋转矩阵

(Goldstein 1980, p. 153)。

如果已知两组 个点 和 的坐标，一组相对于另一组旋转，那么可以使用 最小二乘拟合 以直接的方式获得欧拉旋转矩阵。将点写成向量数组，因此

将向量数组写成矩阵得到

并且求解 得到

然而，我们想要的是角 、 和 ，而不是它们在矩阵 中包含的组合。因此，将 矩阵

作为 向量

现在设置矩阵

然后使用 非线性最小二乘拟合 给出收敛到 的解。