二次曲线判别式

给定一个一般二次曲线

量 被称为判别式，其中

并且在旋转下是不变的。使用来自二次方程的系数，对于角度为 的旋转，

现在令

并使用

来重写带撇的变量

从 (16) 和 (18) 可以得出

与 (17) 结合得到，对于任意

因此，它在旋转下是不变的。因此，这个不变量为确定二次曲线表示的形状提供了一个有用的快捷方式。选择 使 (参见 二次方程)，曲线呈现以下形式

配方法并定义新变量得到

不失一般性，取 的符号为正。判别式为

现在，如果 ，则 和 都具有相同的符号，并且该方程具有椭圆的一般形式（如果 和 为正）。如果 ，则 和 具有相反的符号，并且该方程具有双曲线的一般形式。如果 ，则 或 之一为零，并且该方程具有抛物线的一般形式（如果非零 或 为正）。由于判别式是不变的，因此这些结论也适用于 的任意选择，因此当 被原始的 替换时，它们也成立。一般结果是

1. 如果 ，则方程表示椭圆，圆（退化的椭圆），点（退化的圆），或没有图形。

2. 如果 ，则方程表示双曲线或一对相交线（退化的双曲线）。

3. 如果 ，则方程表示抛物线，直线（退化的抛物线），一对平行线（退化的抛物线），或没有图形。