局部化

环和模上的运算。给定一个交换幺环 ，以及 的一个子集 ， 在乘法下封闭，且 在 中， 不在 中，则 在 处的局部化是环

(1)

其中形式分式 的加法和乘法根据自然规则定义，

(2)

且

(3)

环 通过等同 是 的子环。

对于一个 -模 ， 在 处的局部化定义为张量积 张量积 ，即，作为基本张量的线性组合的集合

(4)

也简记为 。

子集 所需的性质由以下情况满足：

1. 的非零除数集合；在这种情况下， 是 的分式环。

2. 的任何素理想 的补集 ：在这种情况下，笨拙的符号 被 替代。这个环称为 在 处的局部化，它是一个局部环，极大理想为 。

赋予此运算的名称源于当应用于与代数簇相关的环时，它所具有的几何意义。

实笛卡尔平面坐标轴的并集 是由方程给出的代数簇

(5)

且与商环 商环 相关联。 在由 的剩余 和 的剩余 生成的极大理想处的局部化，记为 ，描述了原点处的 ；其代数性质为局部几何性质提供线索。例如，局部化环是非正则的，因为其 Krull 维数为 1，而生成其极大理想 需要两个元素。这是原点是 的奇点（一个结点）的代数对应物。对于 -轴的所有其他点 ，()，局部化环 是维数为 1 的正则环，因为 生成了整个极大理想 ：由于 ，因此有 。相同的论证适用于 -轴。由此可见，在原点之外，簇 在“光滑”或“非奇异”的几何意义上是正则的。