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大学生的梦

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Borwein et al. (2004, pp. 4 and 44) 将积分的表达式称为

I_1=int_0^1x^xdx
(1)
=0.783430510...
(2)
I_2=int_0^1(dx)/(x^x)
(3)
=1.291285997...
(4)

(OEIS A083648 和 A073009) 用无穷级数表示为“大学生的梦”。

对于 I_1，写成

x^x=e^(xlnx)
(5)
=sum_(n=0)^(infty)((xlnx)^n)/(n!)
(6)

逐项积分得到

I_1=sum_(n=0)^(infty)int_0^1((xlnx)^n)/(n!)dx
(7)
=sum_(n=0)^(infty)(-1)^n(n+1)^(-(n+1))
(8)
=sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1))/(n^n)
(9)

(Borwein et al. 2004, p. 44)。

对于 I_2，写成

x^(-x)=e^(-xlnx)
(10)
=sum_(n=0)^(infty)((-xlnx)^n)/(n!)
(11)

逐项积分得到

I_2=sum_(n=0)^(infty)int_0^1((-xlnx)^n)/(n!)dx
(12)
=sum_(n=0)^(infty)(n+1)^(-(n+1))
(13)
=sum_(n=1)^(infty)1/(n^n)
(14)

(Borwein et al. 2004, pp. 4 and 44)。

另请参阅

幂塔

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参考文献

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. 数学实验：计算发现之路。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Dunham, W. 微积分画廊：从牛顿到勒贝格的杰作。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 46-51, 2005.Sloane, N. J. A. 序列 A083648 和 A073009 在“整数序列在线百科全书”中。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

大学生的梦

请引用为

Weisstein, Eric W. “大学生的梦。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SophomoresDream.html

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