拉格朗日插值多项式

拉格朗日插值多项式是 degree 的多项式 ，它穿过 个点 , , ..., ，并由下式给出

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其中

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显式地写出，

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该公式最早由 Waring (1779) 发表，1783 年被 Euler 重新发现，并于 1795 年由 Lagrange 发表 (Jeffreys and Jeffreys 1988)。

拉格朗日插值多项式在 Wolfram 语言中实现为InterpolatingPolynomial[data, var]。 它们被使用，例如，在牛顿-科特斯公式的构建中。

在构造插值多项式时，需要在更好的拟合和具有平滑良好行为的拟合函数之间进行权衡。 插值中使用的数据点越多，结果多项式的次数越高，因此它在数据点之间表现出的振荡越大。 因此，高次插值可能不是点之间函数的良好预测器，尽管数据点处的精度将是“完美的”。

对于 个点，

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请注意，函数 穿过点 ，正如在 的情况下可以看到的那样，

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推广到任意 ，

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拉格朗日插值多项式也可以用 Szegö (1975) 称之为拉格朗日基本插值多项式的形式写出。 令

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因此 是一个 次多项式，其零点在 , ..., 。 然后通过下式定义基本多项式

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其满足

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其中 是克罗内克 delta。 现在设 , ..., ，则展开式

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给出唯一的拉格朗日插值多项式，假设在 处的值为 。 更一般地，设 是区间 上的任意分布， 是相关的正交多项式，, ..., 是对应于多项式 零点集的基本多项式。 那么

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对于 , 2, ..., ，其中 是克里斯托费尔数。

拉格朗日插值多项式不提供误差估计。 计算它们的更概念上直接的方法是 Neville 算法。