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负踏瓣曲线

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给定一条曲线 C 和一个固定点 O=(x_0,y_0)，称为踏瓣点，那么对于曲线 C 上的点 P，绘制一条与 OP 垂直的直线。包络线，当点 P 在曲线 C 上移动时，这些直线的包络线描述的曲线 C 是 C 的负踏瓣曲线。它可以通过考虑曲线 C 的垂直线段 ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) 来构造，曲线 C 由 (f,g) 参数化。由于垂直线段的一端对应于点 P，(x_1,y_1)=(f,g)。另一个端点可以通过取与 OP 直线垂直的直线找到，得到

(x_2,y_2)=(f,g)+(-(g-y_0),f-x_0),
(1)

或

x_2=y_0+f-g
(2)
y_2=-x_0+f+g.
(3)

代入直线的两点式方程，得到

y-y_1=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)(x-x_1),
(4)

或

U(x,y,t)=y-((x-f)(f-x_0))/(y_0-g)-g=0.
(5)

求解方程组 U(x,y,t)=0 和 partialU/partialt=0，得到负踏瓣曲线的方程为

x_n=-([(g-y_0)^2-(f-x_0)f]g^'+(2f-x_0)(g-y_0)f^')/((f-x_0)g^'-(g-y_0)f^')
(6)
y_n=([(f-x_0)^2-(g-y_0)g]f^'+(2g-y_0)(f-x_0)g^')/((f-x_0)g^'-(g-y_0)f^').
(7)

如果曲线 P 是曲线 C 的踏瓣曲线，那么 C 是 P 的负踏瓣曲线 (Lawrence 1972, pp. 47-48)。

下表总结了一些常见曲线的负踏瓣曲线。

曲线踏瓣点负踏瓣曲线
心脏线负踏瓣曲线原点圆
心脏线负踏瓣曲线尖点对面点蔓叶线
圆负踏瓣曲线圆内椭圆
圆负踏瓣曲线圆外双曲线
椭圆负踏瓣曲线，其中 e>1/2中心塔尔博特曲线
椭圆负踏瓣曲线，其中 e<=1/2焦点卵形线
椭圆负踏瓣曲线，其中 e>1/2焦点双尖点曲线
直线任意点抛物线
抛物线负踏瓣曲线原点半立方抛物线
抛物线负踏瓣曲线焦点契尔恩豪森三次曲线

另请参阅

逆踏瓣曲线, 踏瓣曲线

使用 探索

参考文献

Ameseder, A. "负足迹曲线理论。" Archiv Math. u. Phys. 64, 164-169, 1879.Ameseder, A. "圆锥曲线的负足迹曲线。" Archiv Math. u. Phys. 64, 170-176, 1879.Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 纽约: Dover, pp. 46-49, 1972.Lockwood, E. H. "负踏瓣曲线。" Ch. 19 in 曲线之书。 英国剑桥: 剑桥大学出版社, pp. 156-159, 1967.

在 中被引用

负踏瓣曲线

请引用为

Weisstein, Eric W. "负踏瓣曲线。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NegativePedalCurve.html

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