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塔尔伯特曲线

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TalbotsCurve

塔尔伯特研究的一种曲线，它是关于椭圆中心的椭圆负垂足曲线，适用于离心率为 e^2>1/2 的椭圆（Lockwood 1967，p. 157）。它有四个尖点和两个普通二重点。对于椭圆，其参数方程为

x=acost
(1)
y=bsint
(2)

塔尔伯特曲线具有参数方程

x=acos^3t+((2a^2-b^2)costsin^2t)/a
(3)
=((a^2+c^2sin^2t)cost)/a
(4)
=acost(1+e^2sin^2t)
(5)
y=bsin^3t+((2b^2-a^2)sintcos^2t)/b
(6)
=((a^2-2c^2+c^2sin^2t)sint)/b
(7)
=(asint(1-2e^2+e^2sin^2t))/(sqrt(1-e^2)),
(8)

其中

c=sqrt(a^2-b^2)
(9)

是椭圆中心与其一个焦点之间的距离，并且

e=sqrt(1-(b^2)/(a^2))=c/a
(10)

是离心率。

特殊情况 a=b 给出的是圆。

TalbotsCurveParallels

该曲线在外形上也与椭圆平行曲线非常相似 (Arnold 1990, p. x)。

面积和弧长是

A=((10a^2b^2-a^4-b^4)pi)/(8ab)
(11)
s=4bK(e),
(12)

其中 K(k) 是第一类完全椭圆积分，其椭圆模量为 e。

曲率和切线角是

kappa(t)=(4sqrt(2)a^2b^2)/([a^2+b^2+c^2cos(2t)]^(3/2)[a^2+b^2-3c^2cos(2t)])
(13)
phi(t)=tan^(-1)((btant)/a).
(14)

另请参阅

伯利椭圆, 椭圆, 椭圆负垂足曲线, 椭圆平行曲线, 鱼曲线, 负垂足曲线, 三叶曲线

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参考文献

Arnold, V. I. 奇点，焦散和波前。 Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1990.Lockwood, E. H. 曲线之书。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 157, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "塔尔伯特曲线。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Talbots.html.

引用为

魏斯坦, 埃里克·W. "塔尔伯特曲线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TalbotsCurve.html

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