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三角函数加法公式

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角加法公式表达了角之和的三角函数 alpha+/-beta 用 alpha 和 beta 的函数表示。三角学中角加法的基本公式由下式给出

sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha
(1)
sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha
(2)
cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta
(3)
cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta
(4)
tan(alpha+beta)=(tanalpha+tanbeta)/(1-tanalphatanbeta)
(5)
tan(alpha-beta)=(tanalpha-tanbeta)/(1+tanalphatanbeta).
(6)

其中前四个被称为积化和差公式，有时也称为辛普森公式。

正弦和余弦角加法恒等式可以紧凑地概括为矩阵方程

[cosalpha sinalpha; -sinalpha cosalpha][cosbeta sinbeta; -sinbeta cosbeta]=[cos(alpha+beta) sin(alpha+beta); -sin(alpha+beta) cos(alpha+beta)].
(7)

这些公式可以使用复数指数和欧拉公式简单地推导出来，如下所示。

cos(alpha+beta)+isin(alpha+beta)=e^(i(alpha+beta))
(8)
=e^(ialpha)e^(ibeta)
(9)
=(cosalpha+isinalpha)(cosbeta+isinbeta)
(10)
=(cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)+i(sinalphacosbeta+cosalphasinbeta).
(11)

将实部和虚部相等，然后得到 (1) 和 (3)，而 (2) 和 (4) 可以通过用 -beta 替换 beta 立即得到。

取 (1) 和 (3) 的比率得到正切角加法公式

tan(alpha+beta)=(sin(alpha+beta))/(cos(alpha+beta))
(12)
=(sinalphacosbeta+sinbetacosalpha)/(cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)
(13)
=((sinalpha)/(cosalpha)+(sinbeta)/(cosbeta))/(1-(sinalphasinbeta)/(cosalphacosbeta))
(14)
=(tanalpha+tanbeta)/(1-tanalphatanbeta).
(15)

倍角公式为

sin(2alpha)=2sinalphacosalpha
(16)
cos(2alpha)=cos^2alpha-sin^2alpha
(17)
=2cos^2alpha-1
(18)
=1-2sin^2alpha
(19)
tan(2alpha)=(2tanalpha)/(1-tan^2alpha).
(20)

多倍角公式由下式给出

sin(nx)=sum_(k=0)^(n)(n; k)cos^kxsin^(n-k)xsin[1/2(n-k)pi]
(21)
cos(nx)=sum_(k=0)^(n)(n; k)cos^kxsin^(n-k)xcos[1/2(n-k)pi],
(22)

也可以使用递推关系写成

sin(nx)=2sin[(n-1)x]cosx-sin[(n-2)x]
(23)
cos(nx)=2cos[(n-1)x]cosx-cos[(n-2)x]
(24)
tan(nx)=(tan[(n-1)x]+tanx)/(1-tan[(n-1)x]tanx).
(25)
TrigAnglesWeisstein

角加法公式也可以完全用代数方法推导出来，而无需使用复数。考虑上图中的小直角三角形，它给出

a=(sinalpha)/(cos(alpha+beta))
(26)
b=sinalphatan(alpha+beta).
(27)

现在，应用于大直角三角形的常用三角定义给出

sin(alpha+beta)=(sinbeta+a)/(cosalpha+b)
(28)
=(sinbeta+(sinalpha)/(cos(alpha+beta)))/(cosalpha+sinalpha(sin(alpha+beta))/(cos(alpha+beta)))
(29)
cos(alpha+beta)=(cosbeta)/(cosalpha+b)
(30)
=(cosbeta)/(cosalpha+sinalpha(sin(alpha+beta))/(cos(alpha+beta))).
(31)

同时求解这两个方程中的变量 sin(alpha+beta) 和 cos(alpha+beta)，然后立即得到

sin(alpha+beta)=(cosalphasinalpha+cosbetasinbeta)/(cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)
(32)
cos(alpha+beta)=(cos^2beta-sin^2alpha)/(cosalphacosbeta+sinalphasinbeta).
(33)

借助三角恒等式，可以将这些公式转换成大家熟悉的形式

(cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)(sinalphacosbeta+sinbetacosalpha)=cosbetasinbeta+cosalphasinalpha
(34)

和

(cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)(cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)=cos^2alphacos^2beta-sin^2alphasin^2beta
(35)
=1-sin^2alpha-sin^2beta
(36)
=cos^2alpha-sin^2beta
(37)
=cos^2beta-sin^2alpha,
(38)

可以通过直接乘法验证。将 (◇) 代入 (◇)，并将 (38) 代入 (◇)，然后得到

sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha
(39)
cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta,
(40)

与之前相同。

TrigAdditionSmiley

Smiley 和 Smiley 的一个类似证明使用了上面的左图来获得

sinalpha=(sin(alpha+beta))/(cosbeta+(sinbetacosalpha)/(sinalpha)),
(41)

由此得出

sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha.
(42)

类似地，从右图，

(sinalpha)/(cosalpha)=(cosbeta)/(sinbeta+(cos(alpha+beta))/(sinalpha)),
(43)

所以

cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta.
(44)
TrigSubtractionSmiley

类似的图表可以用来证明角减法公式（Smiley 1999，Smiley 和 Smiley）。在左图中，

h=(cosalpha)/(cosbeta)
(45)
x=hsin(alpha-beta)
(46)
=(sinalpha-hsinbeta)cosalpha,
(47)

给出

sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-cosalphasinbeta.
(48)

类似地，在右图中，

h=(cosalpha)/(sinbeta)
(49)
x=hcos(alpha-beta)
(50)
=(sinalpha+hcosbeta)cosalpha,
(51)

给出

cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta.
(52)
TanSubtractionRen

一个更复杂的图表可以用来从 tan(alpha-beta) 恒等式中获得证明 (Ren 1999)。在上图中，设 BF/BE=AD/DE。那么

tan(alpha-beta)=(DE)/(BE)=(AD)/(BF)=(tanalpha-tanbeta)/(1+tanalphatanbeta).
(53)

一个有趣的恒等式，关联了和与差的正切公式，由下式给出

(tan(alpha-beta))/(tan(alpha+beta))=(sin(alpha-beta)cos(alpha+beta))/(cos(alpha-beta)sin(alpha+beta))
(54)
=((sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)(cosalphacosbeta-sinalphasinbeta))/((cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)(sinalphacosbeta+sinbetacosalpha))
(55)
=(sinalphacosalpha-sinbetacosbeta)/(sinalphacosalpha+sinbetacosbeta).
(56)

另请参见

倍角公式, 半角公式, 和角定理, 多倍角公式, 积化和差公式, 三角学角, 三角学, 沃纳公式 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987。Nelson, R. 即将发表于 College Math. J.，2000 年 3 月。Ren, G. “无字证明：tan(alpha-beta)。” College Math. J. 30, 212, 1999。Smiley, L. M. “无字证明：减法公式的几何。” Math. Mag. 72, 366, 1999。Smiley, L. 和 Smiley, D. “加法和减法公式的几何。” http://math.uaa.alaska.edu/~smiley/trigproofs.html。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

三角函数加法公式

请引用为

Weisstein, Eric W. “三角函数加法公式。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TrigonometricAdditionFormulas.html

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