扁球面上的测地线

扁球面上的测地线可以通过解析方法计算，尽管结果表达式比简单球面的测地线要复杂得多。一个赤道半径为 极半径为 的扁球面可以用参数方程表示为

其中 。使用二阶偏导数

得到测地线函数为

其中

是离心率。

由于 ，且 和 只是 的显式函数，我们可以使用测地线方程的特殊形式

其中 是一个常数，取决于起点和终点。积分得到

其中

是参数为 的第一类椭圆积分，而 是第三类椭圆积分。

扁球面上测地线（子午线除外）在两条与赤道等距的纬度线之间波动。使用 Weierstrass sigma 函数 和 Weierstrass zeta 函数，扁球面上的测地线可以写成

(Forsyth 1960, pp. 108-109; Halphen 1886-1891)。

测地线的方程可以写成以下形式

其中 是曲线上 的最小值。此外，曲线上最高纬度和次低纬度点之间的经度差为

其中椭圆函数的椭圆模量为

(Forsyth 1960, p. 446)。