Proth 素数是指 Proth 数 中为素数的数，即形如 
的数，其中 
为奇数，
为正整数，且 
。Fermat 数 的因子只要满足 
为奇数和 
的条件，就具有这种形式。例如，
是 
的因子，但不是 Proth 素数，因为 
。（否则，每个奇素数都将是 Proth 素数。）
Proth 素数满足 Proth 定理，即，形如 
的数是素数 当且仅当 存在一个数 a 使得 
模 
同余于 
。这为 Proth 素数提供了一个简单的计算测试。Yves Gallot 编写了一个可下载的程序用于测试 Proth 素数，并且目前已知的许多最大素数都是通过这个程序找到的。
第二类 Sierpiński 数是指满足 Sierpiński 合数定理 的数 
，即，Proth 数 
使得 
对于每个 
都是 合数。
前几个 Proth 素数是 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, ... (OEIS A080076)。
下表给出了前几个指数 
，使得 
对于小的 
是素数。
 | OEIS | 使得  为素数的  值 |
| 1 | | 1, 2, 4, 8, 16, ... |
| 3 | A002253 | 1,
2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, ... |
| 5 | A002254 | 1,
3, 7, 13, 15, 25, 39, 55, 75, 85, 127, 1947, ... |
| 7 | A032353 | 2,
4, 6, 14, 20, 26, 50, 52, 92, 120, ... |
| 9 | A002256 | 1,
2, 3, 6, 7, 11, 14, 17, 33, 42, 43, 63, ... |
另请参阅
Fermat 数,
Payam 数,
Pierpont 素数,
Proth 数,
Proth 定理,
Sierpiński 合数定理,
第二类 Sierpiński 数
使用 探索
参考文献
Ballinger, R. "Proth Search Page." http://www.prothsearch.net/.Caldwell, C. "Proth Prime." http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=ProthPrime.Caldwell, C. K. "Yves Gallot's Proth.exe: An implementation of Proth's Theorem for Windows." http://www.utm.edu/research/primes/programs/gallot/.Keller, W. "The Least Prime of the Form 
for Certain Values of 
." Abstr. Amer. Math. Soc. 9, 417-418, 1988.McNamara, J. and Mills, M. "Factoring of Proth Numbers." http://www.fidn.org/proth1.html.Sloane, N. J. A. Sequences A002253/M1318, A002254/M2635, A002256/M0751, A032353, and A080076 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."在 中被引用
Proth 素数
引用为
Weisstein, Eric W. "Proth 素数。" 来自 --沃尔夫勒姆网络资源。 https://mathworld.net.cn/ProthPrime.html
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