将形如 
的数称为“近似平方数”。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 
, 
, 4, 11, 20, 31, 44, 59, 76, 95, ... (OEIS A028875)。 这些数对于索引 
, 6, 8, 12, 14, 16, ... (OEIS A028876) 是素数，对应的素数为 11, 31, 59, 139, 191, 251, 479, ... (OEIS A028877)。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 
, 0, 5, 12, 21, 32, 45, 60, ... (OEIS A028347)。 由于它们总是可以分解为 
(当 
时)，所以这种形式的唯一（正）素数是 5。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 
, 1, 6, 13, 22, 33, 46, 61, ... (OEIS A028872)。 这些数对于索引 
, 8, 10, 14, 20, 26, 32, ... (OEIS A028873) 是素数，对应的素数为 13, 61, 97, 193, 397, 673, ... (OEIS A028874)。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 
, 2, 7, 14, 23, 34, 47, 62, ... (OEIS A008865)。 这些数对于索引 
, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 27, ... (OEIS A028870) 是素数，对应的素数为 2, 7, 23, 47, 79, 167, 223, 359, 439, ... (OEIS A028871)。 “Kynea 素数”（见下文）是这种形式的特例。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, ... (OEIS A005563)。 由于它们总是可以分解为 
(当 
时)，所以这种形式的唯一素数是 3。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... (OEIS A002522)。 这些数对于索引 
, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, ... (OEIS A005574) 是素数，对应的素数为 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, ... (OEIS A002496)。 费马素数 和 广义费马素数 (当 
时) 是这种形式的。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, ... (OEIS A059100)。 这些数对于索引 
, 3, 9, 15, 21, 33, 39, 45, 57, 81, 99, ... (OEIS A067201) 是素数，对应的素数为 3, 11, 83, 227, 443, 1091, 1523, 2027, ... (OEIS A056899)。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, ... (OEIS A117950)。 这些数对于索引 
, 4, 8, 10, 14, 22, 28, 38, 50, 52, 62, ... (OEIS A049422) 是素数，对应的素数为 7, 19, 67, 103, 199, 487, 787, 1447, ... (OEIS A049423)。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 5, 8, 13, 20, 29, 40, 53, 68, 85, ... (OEIS A087475)。 这些数对于索引 
, 3, 5, 7, 13, 15, 17, 27, ... (OEIS A007591) 是素数，对应的素数为 5, 13, 29, 53, 173, 229, 293, 733, ... (OEIS A005473)。
形如 
的数，当 
, 2, ... 时，为 6, 9, 14, 21, 30, 41, 54, 69, ... (OEIS A117951)。 这些数对于索引 
, 12, 36, 48, 72, 78, 96, ... (OEIS A078402) 是素数，对应的素数为 41, 149, 1301, 2309, 5189, ... (OEIS A056905)。
对于 
, 2, ..., 形如 
的前几个近似平方数是 
, 7, 47, 223, 959, 3967, ... (OEIS A093112)。 截至 2016 年 6 月，已知总共有 42 个这种形式的素数（最初的研究者随意地将它们称为 Carol 素数，以纪念一位私人熟人）。 前几个素数的索引为 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, ... (OEIS A091515)，对应的素数为 7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, ... (OEIS A091516)。 下表总结了一些这种形式的大素数。
 | 十进制位数 | 发现者 |
 | 152916 | C. Emmanuel (2007 年 5 月 7 日；Harvey； http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=80384) |
 | 313290 | M. Rodenkirch (2016 年 4 月 14 日) |
 | 393441 | M. Rodenkirch (2016 年 6 月 15 日) |
对于 
, 2, ..., 形如 
的前几个近似平方数是 2, 7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, ... (OEIS A093069)。 截至 2016 年 6 月，已知总共有 50 个这种形式的素数（最初的研究者随意地将它们称为 Kynea 素数，以纪念一位私人熟人）。 前几个素数的索引为 0, 1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, ... (OEIS A091513)，它们是 2, 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, ... (OEIS A091514)。 下表总结了一些这种形式的大素数。
 | 十进制位数 | 发现者 |
 | 169553 | C. Emmanuel (2005 年 10 月)； http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=75878 |
 | 222510 | M. Rodenkirch (2016 年 2 月) |
 | 226405 | M. Rodenkirch (2016 年 2 月 7 日) |
 | 266142 | M. Rodenkirch (2016 年 2 月 28 日) |
 | 374146 | M. Rodenkirch (2016 年 5 月 30 日) |
 | 398250 | M. Rodenkirch (2016 年 6 月 19 日) |
