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广义费马数

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广义费马数有两种不同的定义，其中一个比另一个更通用。Ribenboim（1996，第 89 页和 359-360 页）将广义费马数定义为 形如 a^(2^n)+1 且 a>2 的数，而 Riesel（1994）进一步推广，将其定义为 a^(2^n)+b^(2^n) 形式的数。 两种定义都推广了通常的 费马数 F_n=2^(2^n)+1。下表给出了对于不同的基数 a 的前几个广义费马数。

aOEIS以 a 为基数的广义费马数
2A0002153, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, ...
3A0599194, 10, 82, 6562, 43046722, ...
4A0002155, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ...
5A0783036, 26, 626, 390626, 152587890626, ...
6A0783047, 37, 1297, 1679617, 2821109907457, ...

广义费马数只有在 a 为偶数时才可能是素数。更具体地说，奇素数 p 是广义费马素数 当且仅当 存在整数 i 使得 i^2=-1 (mod p) 且 i^2<p (Broadhurst 2006)。

许多已知的最大素数是广义费马数。Dubner 在 1992 年 9 月发现了 200944^(2^(11))+1 （10861 位数）和 82642^(2^(11))+1 （10071 位数）（Ribenboim 1996，第 360 页）。截至 2009 年 1 月，已知最大的素数是 24518^(2^(18))+1 （http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=84401），它有 1150678 个十进制位数。

下表给出了对于不同的偶数基数 a 的前几个广义费马素数。

a素数 a^(2^n)+1
25, 17, 257, 65537, ...
417, 257, 65537, ...
637, 1297, ...

另请参阅

费马数, 费马素数, 近平方素数

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参考文献

Broadhurst, D. "GFN Conjecture." Post to primeform user forum. Apr. 1, 2006. http://groups.yahoo.com/group/primeform/message/7187.Caldwell, C. "The Largest Known Primes." http://primes.utm.edu/primes/lists/all.txt.Dubner, H. "Generalized Fermat Primes." J. Recr. Math. 18, 279-280, 1985.Dubner, H. and Keller, W. "Factors of Generalized Fermat Numbers." Math. Comput. 64, 397-405, 1995.Morimoto, M. "On Prime Numbers of Fermat Type." Sugaku 38, 350-354, 1986.Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, 1996.Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 102-103 and 415-428, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A000215/M2503, A059919, A078303, and A078304 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上被引用

广义费马数

请按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “广义费马数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GeneralizedFermatNumber.html

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