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正切数

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正切数，也称为 zag 数，由下式给出

T_n=(2^(2n)(2^(2n)-1)|B_(2n)|)/(2n),
(1)

其中 B_n 是伯努利数，是可以根据生成函数（为 tanx 的麦克劳林级数给出）或 n=1, 3, 5, 7, ... 个符号上的交错排列数（其中彼此反转的排列被视为等价）定义的数。 前几个 T_n 为 n=1, 2, ... 是 1, 2, 16, 272, 7936, ... (OEIS A000182)。

例如，在 n=1 和 3 个数上的非反转等价交错排列分别是 {1} 和 {1,3,2}, {2,1,3}。

正切数具有生成函数

tanx=sum_(k=0)^(infty)((-1)^(k-1)2^(2k)(2^(2k)-1)B_(2k))/((2k)!)x^(2k-1)
(2)
=sum_(k=1)^(infty)(T_k)/((2k-1)!)x^(2k-1)
(3)
=x+1/3x^3+2/(15)x^5+(17)/(315)x^7+....
(4)

Shanks (1967) 将正切数推广定义为

d_(a,n)=((2n-1)!L_(-a)(2n+1))/(sqrt(a))((2a)/pi)^(2n),
(5)

其中 L_n(s) 是狄利克雷 L 级数，给出特殊情况

d_(1,n)=T_n.
(6)

下表给出了 d_(a,n) 在 n=1, 2, ... 的前几个值。

aOEISd_(a,n)
1A0001821, 2, 16, 272, 7936, ...
2A0004641, 11, 361, 24611, ...
3A0001912, 46, 3362, 515086, ...
4A0003184, 128, 16384, 4456448, ...
5A0003204, 272, 55744, 23750912, ...
6A0004116, 522, 152166, 93241002, ...
7A0640728, 904, 355688, 296327464, ...
8A0640738, 1408, 739328, 806453248, ...
9A06407412, 2160, 1415232, 1951153920, ...
10A06407514, 3154, 2529614, 4300685074, ...

另请参阅

交错排列, 狄利克雷 L 级数, Entringer 数, 欧拉曲折数, 正割数, 正切

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参考文献

Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Knuth, D. E. 和 Buckholtz, T. J. "正切数、欧拉数和伯努利数的计算。" Math. Comput. 21, 663-688, 1967.Shanks, D. "广义欧拉数和类数。" Math. Comput. 21, 689-694, 1967.Shanks, D. 对《广义欧拉数和类数》的勘误。" Math. Comput. 22, 699, 1968.Sloane, N. J. A. 序列 A000182/M2096，出自“整数序列在线百科全书”。"

在 Wolfram|Alpha 中被引用

正切数

请引用为

Weisstein, Eric W. “正切数。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TangentNumber.html

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