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交错排列

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交错排列是元素 c_1, ..., c_n 的一种排列，使得没有元素 c_i 的大小介于 c_(i-1) 和 c_(i+1) 之间，这被称为交错（或锯齿形）排列。确定前 n 个 整数 {1,2,...,n} 的集合的交错排列的数量被称为 安德烈问题。

对于 n=1, 2, ...，整数 1 到 n 的交错排列的数量 Z_n 为 1, 2, 4, 10, 32, 122, 544, ... (OEIS A001250)。例如，对于小的 n，n 个整数的交错排列总结在下表中。

nZ_n交错排列
11{1}
22{1,2}, {2,1}
34{1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}
410{1,3,2,4}, {1,4,2,3}, {2,1,4,3}, {2,3,1,4}, {2,4,1,3},
{3,1,4,2}, {3,2,4,1}, {3,4,1,2}, {4,1,3,2}, {4,2,3,1}

对于 n>1，每个交错排列 Z_n 可以正向或反向书写，因此必须是偶数 A_n=Z_n/2。量 A_n 可以通过 递推方程 简单计算得出

2na_n=suma_ra_s,
(1)

其中 r 和 s 遍历所有 整数，使得

r+s=n-1,
(2)

a_0=a_1=1，并且

A_n=n!a_n.
(3)

数字 A_n 有时被称为 欧拉曲折数，前几个数字由 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, ... 给出 (OEIS A000111)。

偶数编号的 A_ns 被称为 欧拉数 |E_(2n)|，正割数 S_n 或 锯齿数 (1, 1, 5, 61, 1385, ...; OEIS A000364)，而 奇数编号的有时被称为 正切数 T_n 或 曲折数 (1, 2, 16, 272, 7936, ...; OEIS A000182)。

有趣的是，正割和 正切 麦克劳林级数 可以用 A_ns 表示为

secx=A_0+A_2(x^2)/(2!)+A_4(x^4)/(4!)+...
(4)
tanx=A_1x+A_3(x^3)/(3!)+A_5(x^5)/(5!)+...,
(5)

或将它们组合起来，

secx+tanx=A_0+A_1x+A_2(x^2)/(2!)+A_3(x^3)/(3!)+A_4(x^4)/(4!)+A_5(x^5)/(5!)+....
(6)

参见

Entringer 数, 欧拉数, 欧拉曲折数, 正割数, Seidel-Entringer-Arnold 三角形, 正切数

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参考文献

André, D. "Developments de secx et tanx." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 88, 965-967, 1879.André, D. "Memoire sur les permutations alternées." J. Math. 7, 167-184, 1881.Arnold, V. I. "Bernoulli-Euler Updown Numbers Associated with Function Singularities, Their Combinatorics and Arithmetics." Duke Math. J. 63, 537-555, 1991.Arnold, V. I. "Snake Calculus and Combinatorics of Bernoulli, Euler, and Springer Numbers for Coxeter Groups." Russian Math. Surveys 47, 3-45, 1992.Bauslaugh, B. and Ruskey, F. "Generating Alternating Permutations Lexicographically." BIT 30, 17-26, 1990.Conway, J. H. and Guy, R. K. In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 110-111, 1996.Dörrie, H. "André's Derivation of the Secant and Tangent Series." §16 in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 64-69, 1965.Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 69-75, 1985.Knuth, D. E. and Buckholtz, T. J. "Computation of Tangent, Euler, and Bernoulli Numbers." Math. Comput. 21, 663-688, 1967.Millar, J.; Sloane, N. J. A.; and Young, N. E. "A New Operation on Sequences: The Boustrophedon Transform." J. Combin. Th. Ser. A 76, 44-54, 1996.Ruskey, F. "Information of Alternating Permutations." http://www.theory.csc.uvic.ca/~cos/inf/perm/Alternating.html.Sloane, N. J. A. Sequences A000111/M1492, A000182/M2096, A000364/M4019, and A001250/M1235 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上引用

交错排列

请引用为

Weisstein, Eric W. "交错排列。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AlternatingPermutation.html

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