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二次互反定理

如果 p 和 q 是不同的奇素数，那么二次互反定理指出同余式

x^2=q (mod p) x^2=p (mod q)
(1)

要么都可解，要么都不可解，除非 p 和 q 除以 4 都余 3（在这种情况下，一个同余式可解，另一个不可解）。 符号表示为，

(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4),
(2)

其中

(p/q)={1 for x^2=p (mod q) solvable for x; -1 for x^2=p (mod q) not solvable for x
(3)

被称为勒让德符号。

高斯称这个结果为“aureum theorema”（黄金定理）。

欧拉在 1783 年陈述了这个定理，但没有证明。勒让德是第一个发表证明的人，但它是错误的。1796 年，高斯成为第一个发表正确证明的人（Nagell 1951，p. 144）。二次互反定理是高斯在数论中最喜欢的定理，在他一生中，他设计了至少八种不同的证明。

亏格定理指出丢番图方程

x^2+y^2=p
(4)

对于p素数可解，当且仅当 p=1 (mod 4) 或 p=2。

参见

亏格定理, 雅可比符号, 克罗内克符号, 勒让德符号, 二次的, 二次剩余, 互反定理 在 MathWorld 课堂中探索这个主题

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参考文献

Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, p. 39, 1996.Ireland, K. and Rosen, M. "Quadratic Reciprocity." Ch. 5 in A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York:Springer-Verlag, pp. 50-65, 1990.Jones, G. A. and Jones, J. M. "Quadratic Reciprocity." §7.4 in Elementary Number Theory. Berlin:Springer-Verlag, pp. 130-135, 1998.Nagell, T. "The Quadratic Reciprocity Law." §41 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 141-145, 1951.Riesel, H. "The Law of Quadratic Reciprocity." Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 279-281, 1994.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 42-49, 1993.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

二次互反定理

引用为

Weisstein, Eric W. "Quadratic Reciprocity Theorem." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuadraticReciprocityTheorem.html

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