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Kummer曲面

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KummerSurface

Kummer曲面是由以下四次曲面族，由代数方程给出

(x^2+y^2+z^2-mu^2w^2)^2-lambdapqrs=0,
(1)

其中

lambda=(3mu^2-1)/(3-mu^2),
(2)

p, q, r, 和 s 是四面体坐标

p=w-z-sqrt(2)x
(3)
q=w-z+sqrt(2)x
(4)
r=w+z+sqrt(2)y
(5)
s=w+z-sqrt(2)y,
(6)

和 w 是一个参数，在上面的图中，w 设置为 w=1。

上面的图对应于 mu^2=1/3

(3x^2+3y^2+3z^2-1)^2=0,
(7)

(双球), 2/3, 1

x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2z+4y^2z+4x^2z^2+4y^2z^2=0
(8)

(罗马曲面), 2, 3

[(z-1)^2-2x^2][2y^2-(z+1)^2]=0
(9)

(四个平面), 和 5。 0<=mu^2<=1/3 的情况对应于四个实点。

下表给出了 mu^2 不同范围内的常双重点数量，对应于前面的图示。

参数实节点复节点
0<=mu^2<=1/3412
mu^2=1/3
1/3<=mu^2<1412
mu^2=1
1<mu^2<3160
mu^2=3
mu^2>3160

Kummer曲面可以用超椭圆 theta 函数参数化表示。 大多数 Kummer 曲面 допускают 16 个常双重点，这是四次曲面的最大可能值。 Kummer 曲面的一个特例是四面体曲面。

Nordstrand 给出了隐式方程，如下所示

x^4+y^4+z^4-x^2-y^2-z^2-x^2y^2-x^2z^2-y^2z^2+1=0
(10)

或

x^4+y^4+z^4+a(x^2+y^2+z^2)+b(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)+cxyz-1=0.
(11)

另请参阅

Desmic曲面, 四次曲面, 罗马曲面, 四面体曲面

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参考文献

Endraß, S. "Flächen mit vielen Doppelpunkten." DMV-Mitteilungen 4, 17-20, Apr. 1995.Endraß, S. "Kummer Surfaces." http://enriques.mathematik.uni-mainz.de/docs/Ekummer.shtml.Fischer, G. (Ed.). Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Kommentarband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 14-19, 1986.Fischer, G. (Ed.). Plates 34-37 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 33-37, 1986.Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 313, 1997.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 183, 1994.Hudson, R. W. H. T. Kummer's Quartic Surface. Cambridge, England: University Press, 1905. Reprinted Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Kummer, E. "Über die Flächen vierten Grades mit sechszehn singulären Punkten." Collected Papers, Volume 2: Functions, Theory, Geometry and Miscellaneous (Ed. A. Weil). Berlin: Springer-Verlag, pp. 418-432, 1975.Kummer, E. "Über Strahlensysteme, deren Brennflächen Flächen vierten Grades mit sechszehn singulären Punkten sind." Collected Papers, Volume 2: Functions, Theory, Geometry and Miscellaneous (Ed. A. Weil). Berlin: Springer-Verlag, pp. 418-432, 1975.Nordstrand, T. "Kummer's Surface." http://jalape.no/math/kummtxt.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Kummer曲面

引用为

Weisstein, Eric W. "Kummer曲面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KummerSurface.html

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