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交换子

设 A^~, B^~, ... 为算符。则 A^~ 和 B^~ 的交换子定义为

[A^~,B^~]=A^~B^~-B^~A^~.
(1)

设 a, b, ... 为常数，则恒等式包括

[f(x),x]=0
(2)
[A^~,A^~]=0
(3)
[A^~,B^~]=-[B^~,A^~]
(4)
[A^~,B^~C^~]=[A^~,B^~]C^~+B^~[A^~,C^~]
(5)
[A^~B^~,C^~]=[A^~,C^~]B^~+A^~[B^~,C^~]
(6)
[a+A^~,b+B^~]=[A^~,B^~]
(7)
[A^~+B^~,C^~+D^~]=[A^~,C^~]+[A^~,D^~]+[B^~,C^~]+[B^~,D^~].
(8)

设 A 和 B 为张量。则

[A,B]=del _AB-del _BA.
(9)

在群论中存在一个相关的交换子概念。两个群元素 A 和 B 的交换子是 ABA^(-1)B^(-1)，当它们的交换子是单位元时，称两个元素 A 和 B 可交换。当群是李群时，其李代数中的李括号是群交换子的无穷小版本。例如，设 A 和 B 为方阵，并设 alpha(s) 和 beta(t) 为李群中非奇异矩阵的路径，它们满足

alpha(0)=beta(0)=I
(10)
(partialalpha)/(partials)|_(s=0)=A
(11)
(partialbeta)/(partials)|_(s=0)=B,
(12)

则

partial/(partials)partial/(partialt)alpha(s)beta(t)alpha^(-1)(s)beta^(-1)(t)|_((s=0,t=0))=2[A,B].
(13)

参见

伴随表示, 反对易子, 换位子群, 雅可比恒等式

此条目部分由 Todd Rowland 贡献

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请引用本文为

Rowland, Todd 和 Weisstein, Eric W. "交换子。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Commutator.html

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