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Somos 二次递推常数

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Somos 二次递推常数通过以下序列定义

g_n=ng_(n-1)^2
(1)

其中 g_0=1。这具有闭式解

g_n=exp[-2^n(partialLi_n(1/2))/(partialn)|_(n=0)+1/2(partialPhi(1/2,s,n+1))/(partials)|_(s=0)],
(2)

其中 Li_n(z) 是一个 多重对数函数，Phi(z,s,a) 是一个 Lerch 超越函数。前几项是 1, 2, 12, 576, 1658880, 16511297126400, ... (OEIS A052129)。这个序列的项具有渐近增长，如

g_n=sigma^(2^n)(n+2-n^(-1)+4n^(-2)-21n^(-3)+138n^(-4)-1091n^(-5)+...)^(-1)
(3)

(OEIS A116603；Finch 2003, p. 446, n^(-4) 项已修正)，其中 sigma 被称为 Somos 二次递推常数。这里，生成函数 A(x) 在 x=1/n 中满足 函数方程

(1+x)^2=(A^2(x))/(A(x/(1+x))).
(4)

sigma 的表达式包括

sigma=sqrt(1sqrt(2sqrt(3sqrt(4...))))
(5)
=product_(k=1)^(infty)k^(1/2^k)
(6)
=product_(k=1)^(infty)((k+1)/k)^(1/2^k)
(7)
=product_(n=1)^(infty)product_(k=0)^(n)(k+1)^((-1)^(k+n)(n; k))
(8)
=1.661687949...
(9)

(OEIS A112302；Ramanujan 2000, p. 348；Finch 2003, p. 446；Guillera 和 Sondow 2005)。

lnsigma 的表达式包括

lnsigma=sum_(k=1)^(infty)(1/2)^klnk
(10)
=sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k-1)Li_k(1/2))/k
(11)
=-(partialLi_n(z))/(partialn)|_(n=0,z=1/2)
(12)
=sum_(n=1)^(infty)sum_(k=0)^(n)(-1)^(n+k)(n; k)ln(k+1)
(13)
=0.5078339...
(14)

(OEIS A114124；Finch 2003, p. 446；Guillera 和 Sondow 2005；J. Borwein，私人通信，2 月 6 日，2005 年)，其中 Li_n(z) 是一个 多重对数函数。

lnsigma 也由 单位正方形积分 给出

lnsigma=int_0^1int_0^1(-x)/((2-xy)ln(xy))dxdy
(15)
=int_0^1(1-x)/((x-2)lnx)dx
(16)

(Guillera 和 Sondow 2005)。

Ramanujan (1911；2000, p. 323) 提出了寻找 嵌套根式 表达式

sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+4sqrt(1+5sqrt(...)))))
(17)

它收敛于 3。Vijayaraghavan (在 Ramanujan 2000, p. 348 中) 给出了他对过程的证明，包括一般情况和 lnsigma 的特定示例。

另请参阅

Glaisher-Kinkelin 常数、嵌套根式、嵌套根式常数、单位正方形积分

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参考文献

Finch, S. R. 数学常数。 英国剑桥：剑桥大学出版社，2003 年。Guillera, J. 和 Sondow, J. "通过 Lerch 超越函数的解析延拓得到的若干经典常数的双重积分和无穷乘积。" 2005 年 6 月 16 日 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319。Ramanujan, S. 问题编号 298。印度数学会杂志 1911 年。Ramanujan, S. Srinivasa Ramanujan 论文集 (G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar 和 B. M. Wilson 编辑)。普罗维登斯，罗德岛州：美国数学会，2000 年。Sloane, N. J. A. 序列 A052129, A112302, A114124, 和 A116603，载于 "整数序列在线百科全书"。Somos, M. "与二次递推相关的若干常数。" 未发表的笔记。1999 年。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Somos 二次递推常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Somos 二次递推常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SomossQuadraticRecurrenceConstant.html

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