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超立方体线段选取

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设两个点 x 和 y 从一个单位 n 维 超立方体 中随机选取。点 Delta(n) 之间的期望距离，即 平均线段长度，则为

Delta(n)=int_0^1...int_0^1_()_(2n)sqrt((x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2)dx_1...dx_ndy_1...dy_n.
(1)

这个多重积分仅针对 n 的小值进行了分析计算。情况 Delta(1) 对应于区间 [0,1] 中两个随机点之间的 线段选取。

HypercubeLinePlot

以下表格给出了 Delta(n) 的前几个值。

nOEISDelta(n)
1--0.3333333333...
2A0915050.5214054331...
3A0730120.6617071822...
4A1039830.7776656535...
5A1039840.8785309152...
6A1039850.9689420830...
7A1039861.0515838734...
8A1039871.1281653402...

函数 Delta(n) 满足

1/3n^(1/2)<=Delta(n)<=(1/6n)^(1/2)sqrt(1/3[1+2(1-3/(5n))^(1/2)])
(2)

(Anderssen等人，1976)，与实际值一起绘制在上方。

HypercubeLinePickingIntegrands

M. Trott（私人通讯，2005年2月23日）设计了一种巧妙的算法，用于将 2n 维积分简化为一维被积函数 I_n(x) 上的积分，使得

Delta(n)=int_0^inftyI_n(x)dx.
(3)

前几个值为

I_1=(2e^(-x^2))/(3sqrt(pi))
(4)
I_2=(e^(-x^2)erf(x))/(3x)+(4e^(-2x^2))/(15sqrt(pi))+(4e^(-x^2))/(15sqrt(pi))
(5)
I_3=-2/5e^(-x^2)sqrt(pi)erf^2(x)+(4e^(-2x^2)erf(x))/(5x)+(e^(-x^2)erf(x))/(5x)-(12e^(-3x^2))/(35sqrt(pi))+(68e^(-2x^2))/(105sqrt(pi))+(8e^(-x^2))/(105sqrt(pi))
(6)
I_4=-(2e^(-x^2)pierf^3(x))/(15x)-(136)/(105)e^(-2x^2)sqrt(pi)erf^2(x)-(32)/(105)e^(-x^2)sqrt(pi)erf^2(x)+(197e^(-3x^2)erf(x))/(210x)+(104e^(-2x^2)erf(x))/(105x)+(e^(-x^2)erf(x))/(14x)-(676e^(-4x^2))/(945sqrt(pi))+(16e^(-3x^2))/(35sqrt(pi))+(146e^(-2x^2))/(315sqrt(pi))+(16e^(-x^2))/(945sqrt(pi)).
(7)

在 x->0 的极限情况下，这些值对于 n=1, 2, ... 由 1/sqrt(pi) 乘以 2/3, 6/5, 50/21, 38/9, 74/11, ... 给出（OEIS A103990 和 A103991）。

这等价于计算 箱积分

Delta_n(s)=s/(Gamma(1-1/2s))int_0^infty(1-[d(u)]^n)/(u^(s+1))du
(8)

其中

d(u)=int_0^1int_0^1e^(-u^2(x-y)^2)dxdy
(9)
=int_0^1int_0^1(e^(-u^2)-1+sqrt(pi)uerf(u))/(u^2)du
(10)

(Bailey等人，2006)。

这些给出了 n=1, 2, 3 和 4 的闭合形式结果

Delta(1)=1/3
(11)
Delta(2)=1/(15)[sqrt(2)+2+5ln(1+sqrt(2))]
(12)
Delta(3)=1/(105)[4+17sqrt(2)-6sqrt(3)+21ln(1+sqrt(2))+42ln(2+sqrt(3))-7pi]
(13)
Delta(4)=(136)/(105)sqrt(2)tan^(-1)(1/2sqrt(2))-(34)/(105)pisqrt(2)+8/(105)sqrt(3)+(73)/(630)sqrt(2)+4/5Cl_2(alpha)-4/5Cl_2(alpha+1/2pi)+(197)/(420)ln3+1/(14)ln(1+sqrt(2))-4/5alphaln(1+sqrt(2))-1/5piln(1+sqrt(2))+(52)/(105)ln(2+sqrt(3))-(23)/(135)-(16)/(315)pi+(26)/(15)K
(14)
Delta(5)=(65)/(42)K-(380)/(6237)sqrt(5)+(568)/(3465)sqrt(3)-4/(189)pi-(449)/(3465)-(73)/(63)sqrt(2)tan^(-1)(1/4sqrt(2))-(184)/(189)ln2+(64)/(189)ln(sqrt(5)+1)+1/(54)ln(1+sqrt(2))+(40)/(63)ln(sqrt(2)+sqrt(6))-5/(28)piln(1+sqrt(2))+(52)/(63)piln2+(295)/(252)ln3+4/(215)pi^2+(3239)/(62370)sqrt(2)-8/(21)sqrt(3)cot^(-1)(sqrt(15))-(52)/(63)piln(sqrt(2)+sqrt(6))-5/7alpha+5/7Cl_2(alpha)-5/7Cl_2(alpha+1/2pi)+(52)/(63)K_1,
(15)

其中 Cl_2(z) 是一个 克劳森函数，K 是 卡塔兰常数，并且

alpha=sin^(-1)((sqrt(2))/6-2/3).
(16)

上面的 n=4 情况首次发表于这项工作；上面给出的简化形式归功于 Bailey等人（2007）。尝试将 Delta(5) 简化为求积法，得到了闭合形式的部分，但以下单个部分除外

K_1=pi[1/2ln(2+sqrt(3))-int_0^infty(e^(-2x^2)erf^3(x))/xdx]
(17)
=int_3^4(sec^(-1)x)/(sqrt((x-3)(x-1)))dx
(18)
=int_0^(I[cos^(-1)2])sec^(-1)(2+coshtheta)dtheta
(19)

这部分似乎难以以闭合形式积分（Bailey等人，2007，第272页）。

为 立方体线段选取 获得的 Delta(3) 值有时被称为 罗宾斯常数。

另请参阅

立方体线段选取, 超立方体点选取, 平均线段长度, 罗宾斯常数, 正方形线段选取, 正方形点选取, 正方形三角形选取, 单位正方形积分

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参考文献

Anderssen, R. S.; Brent, R. P.; Daley, D. J.; 和 Moran, A. P. "关于 int_0^1...int_0^1sqrt(x_1^2+...+x_k^2)dx_1...dx_k 和泰勒级数方法。" SIAM J. Appl. Math. 30, 22-30, 1976.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; 和 Crandall, R. E. "箱积分。" J. Comput. Appl. Math. 206, 196-208, 2007.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; 和 Crandall, R. E. "箱积分理论进展。" Math. Comput. 79, 1839-1866, 2010.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. 实验数学行动。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 272, 2007.Finch, S. R. "几何概率常数。" §8.1 在 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 479-484, 2003.Le Lionnais, F. 卓越数。 Paris: Hermann, p. 30, 1983.Robbins, D. "盒子中两点之间的平均距离。" Amer. Math. Monthly 85, 278, 1978.Sloane, N. J. A. 序列 A073012, A091505, A103983, A103984, A103985, A103986, A103987, A103988, A103989, A103990, 和 A103991 在 "整数序列在线百科全书" 中。Trott, M. "随机三角形的面积。" Mathematica J. 7, 189-198, 1998.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

超立方体线段选取

引用为

Weisstein, Eric W. "超立方体线段选取。" 来源 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HypercubeLinePicking.html

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