旋转对称 -- 来自 Wolfram MathWorld

抽象地，如果一个空间构型在群的作用下保持不变，则称其具有旋转对称性。这里，表示的旋转群，并被视为所有自同构的自同构群的一个子群，这些自同构保持不变。对于笛卡尔空间中的平面图形，旋转对称性有一个更直观的定义。

对于任意，中的几何物体如果存在一个点，使得该物体绕该点旋转一定的度数（或弧度）后，看起来与原来完全相同，则称其具有旋转对称性。可以通过计算物体可以旋转以使其看起来与自身相同的不同方式的数量来更精确地定义这个概念；这个数字称为对称的度或阶数。

阶数为的旋转对称性对应于平面图形在旋转度或弧度时保持不变。

上图中的正五边形具有 5 阶旋转对称性，这是因为将其绕中心点旋转弧度，，会得到完全相同的图形。这是一个更普遍事实的特例，即任何正平面 n 边形都具有阶旋转对称性。在正平面边形的情况下，所有这些对称性的集合是一个群，用表示，它同构于循环群，即整数模的同余类，并且是该图形所有对称性（旋转对称性和其他对称性）的二面体群的一个真子群。

根据上面的定义，1 阶旋转对称性对应于一个物体仅当旋转度时才具有绕某一点的对称性；显然，这种情况仅适用于没有对称性的物体，即那些旋转对称群是平凡群的物体。因此，最简单的可能的旋转对称性是 2 阶，例如，平面平行四边形就具有这种对称性。

在某些文献中，阶旋转对称性是通过对图形绕直线旋转的结果进行分类来定义的，而不是绕点旋转（Weyl 1982）。特别是，这些来源将图形定义为具有阶旋转对称性，如果该图形在绕（称为旋转轴）旋转弧度后保持不变。然而，这两种观点产生相同的结果；例如，在上图中，正五边形绕其中心点顺时针旋转弧度可以等效地视为绕由中心点和右上顶点确定的线段/直线顺时针旋转弧度。