Riesz 表示定理

这个定理有几个版本。基本上，它说任何有界线性泛函 在紧支撑连续函数空间 上，与对某个测度 进行积分是相同的，

这里，积分是 勒贝格积分。

由于线性泛函构成一个向量空间，并且不是“正的”，因此测度 可能不是正测度。但是如果泛函 是正的，在 意味着 的意义上，那么测度 也是正的。在复线性泛函的一般性中，测度 是一个复测度。测度 由 唯一确定，并具有正则 博雷尔测度 的性质。它必须是一个有限测度，这对应于泛函的有界条件。事实上，算子范数 , , 是 的全变差测度, 。

自然地，有一些假设对于使其有意义是必要的。空间 必须是局部 紧 的，并且是 T2 空间，这不是一个很强的限制。事实上，对于无界空间 ，该定理也适用于在无穷远处消失的连续函数上的泛函，在对于任何 ，存在一个紧集 使得对于任何不在 中的 ， (这是来自微积分的 的概念)。

Riesz 表示定理在描述包含紧支撑连续函数作为稠密子空间的任何空间的对偶向量空间时非常有用。粗略地说，线性泛函通常通过与隆起函数卷积而被修改为紧支撑连续函数上的有界线性泛函。然后它可以被实现为对测度进行积分。通常，测度必须是绝对连续的，因此对偶是对函数进行积分。