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贝叶斯定理

设 A 和 B_j 为集合。条件概率 要求

P(A intersection B_j)=P(A)P(B_j|A),
(1)

其中 intersection 表示交集（“且”），并且也要求

P(A intersection B_j)=P(B_j intersection A)=P(B_j)P(A|B_j).
(2)

因此，

P(B_j|A)=(P(B_j)P(A|B_j))/(P(A)).
(3)

现在，设

S= union _(i=1)^NA_i,
(4)

因此 A_i 是 S 中的一个事件，并且当 i!=j 时，A_i intersection A_j=emptyset，那么

A=A intersection S=A intersection ( union _(i=1)^NA_i)= union _(i=1)^N(A intersection A_i)
(5)
P(A)=P( union _(i=1)^N(A intersection A_i))=sum_(i=1)^NP(A intersection A_i).
(6)

但这可以写成

P(A)=sum_(i=1)^NP(A_i)P(A|A_i),
(7)

因此

P(A_i|A)=(P(A_i)P(A|A_i))/(sum_(j=1)^NP(A_j)P(A|A_j))
(8)

(Papoulis 1984, pp. 38-39)。

另请参阅

条件概率，容斥原理，独立统计，全概率定理

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参考文献

Papoulis, A. "Bayes' Theorem in Statistics" and "Bayes' Theorem in Statistics (Reexamined)." §3-5 and 4-4 in Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 38-39, 78-81, and 112-114, 1984.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 810, 1992.

请将此页引用为

韦斯坦因，埃里克·W. “贝叶斯定理。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BayesTheorem.html

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