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穆尔-彭罗斯矩阵逆

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给定一个 m×n 矩阵 B，穆尔-彭罗斯广义矩阵逆是一个唯一的 n×m 矩阵 伪逆 B^+。这个矩阵由摩尔在 1920 年和彭罗斯（1955 年）独立定义，并被不同地称为广义逆、伪逆或穆尔-彭罗斯逆。它是一个 矩阵 1-逆，并在 Wolfram 语言 中实现为PseudoInverse[m]。

穆尔-彭罗斯逆满足

BB^+B=B
(1)
B^+BB^+=B^+
(2)
(BB^+)^(H)=BB^+
(3)
(B^+B)^(H)=B^+B,
(4)

其中 B^(H) 是共轭转置。

以下也成立

z=B^+c
(5)

是问题

Bz=c.
(6)

的最短长度最小二乘解

B^+=(B^(H)B)^(-1)B^(H),
(7)

如果 (B^(H)B) 的逆存在，则

B^(H)Bz=B^(H)c,
(8)

可以看出，在 (6) 的两边左乘 B^(H) 以创建一个可以求逆的方阵，

z=(B^(H)B)^(-1)B^(H)c
(9)
=B^+c.
(10)

给出

另请参阅

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Ben-Israel, A. and Greville, T. N. E. Generalized Inverses: Theory and Applications. New York: Wiley, 1977.Campbell, S. L. and Meyer, C. D. Jr. Generalized Inverses of Linear Transformations. New York: Dover, 1991.Lawson, C. and Hanson, R. Solving Least Squares Problems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1974.Penrose, R. "A Generalized Inverse for Matrices." Proc. Cambridge Phil. Soc. 51, 406-413, 1955.Rao, C. R. and Mitra, S. K. Generalized Inverse of Matrices and Its Applications. New York: Wiley, 1971.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

穆尔-彭罗斯矩阵逆

引用为

Weisstein, Eric W. "Moore-Penrose Matrix Inverse." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Moore-PenroseMatrixInverse.html

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