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高斯消元法

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高斯消元法是求解形如 矩阵方程 的方法

Ax=b.
(1)

要执行高斯消元法，从方程组开始

[a_(11) a_(12) ... a_(1k); a_(21) a_(22) ... a_(2k); | | ... |; a_(k1) a_(k2) ... a_(kk)][x_1; x_2; |; x_k]=[b_1; b_2; |; b_k],
(2)

组成“增广矩阵方程”

[a_(11) a_(12) ... a_(1k); a_(21) a_(22) ... a_(2k); | | ... |; a_(k1) a_(k2) ... a_(kk)|b_1; b_2; |; b_k][x_1; x_2; |; x_k].
(3)

这里，变量 x 中的列向量被保留用于标记矩阵行。现在，执行初等行变换以将增广矩阵变为上三角形式

[a_(11)^' a_(12)^' ... a_(1k)^'; 0 a_(22)^' ... a_(2k)^'; | | ... |; 0 0 ... a_(kk)^'|b_1^'; b_2^'; |; b_k^'].
(4)

求解第 k 行的方程得到 x_k，然后代回第 (k-1) 行的方程以获得 x_(k-1) 的解，等等，根据公式

x_i=1/(a_(ii)^')(b_i^'-sum_(j=i+1)^ka_(ij)^'x_j).
(5)

在 Wolfram 语言中，RowReduce执行高斯消元法的一个版本，方程 mx=b 通过以下方式求解：

  GaussianElimination[m_?MatrixQ, v_?VectorQ] :=
    Last /@ RowReduce[Flatten /@ Transpose[{m, v}]]

矩阵的 LU 分解 经常用作高斯消元过程的一部分，用于求解矩阵方程。

经过高斯消元法的矩阵被称为处于阶梯形。

例如，考虑矩阵方程

[9 3 4; 4 3 4; 1 1 1][x_1; x_2; x_3]=[7; 8; 3].
(6)

以增广形式，这变为

[9 3 4; 4 3 4; 1 1 1|7; 8; 3][x_1; x_2; x_3].
(7)

交换第一行和第三行（不交换右手列向量中的元素）得到

[1 1 1; 4 3 4; 9 3 4|3; 8; 7][x_1; x_2; x_3].
(8)

从第三行减去第一行的 9 倍得到

[1 1 1; 4 3 4; 0 -6 -5| 3; 8; -20][x_1; x_2; x_3].
(9)

从第二行减去第一行的 4 倍得到

[1 1 1; 0 -1 0; 0 -6 -5| 3; -4; -20][x_1; x_2; x_3].
(10)

最后，将第二行的 -6 倍加到第三行得到

[1 1 1; 0 -1 0; 0 0 -5| 3; -4; 4][x_1; x_2; x_3].
(11)

恢复变换后的矩阵方程得到

[1 1 1; 0 -1 0; 0 0 -5][x_1; x_2; x_3]=[ 3; -4; 4],
(12)

可以立即求解得到 x_3=-4/5，反向代入得到 x_2=4 （在本例中实际上是显然的），然后再次反向代入找到 x_1=-1/5.

参见

增广矩阵, 凝结法, 初等行和列运算, 阶梯形, 高斯-约旦消元法, LU 分解, 矩阵方程, 平方根法

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参考文献

Bareiss, E. H. "Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination." Argonne National Laboratory Report ANL-7213, May 1966.Bareiss, E. H. "Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination." Math. Comput. 22, 565-578, 1968.Garbow, B. S. "Integer-Preserving Gaussian Elimination." Program P-158 (3600F), Applied Mathematics Division, Argonne National Laboratory, Nov. 21, 1966.Gentle, J. E. "Gaussian Elimination." §3.1 in Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics. Berlin: Springer-Verlag, pp. 87-91, 1998.

在 Wolfram|Alpha 中引用

高斯消元法

引用为

Weisstein, Eric W. “高斯消元法。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GaussianElimination.html

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