Littlewood-Paley 分解

在泛函分析和调和分析领域，Littlewood-Paley 分解是一种分解相平面的特殊方法，它将单个函数表示为具有不同频率的可数无限函数族的叠加。Littlewood-Paley 分解在数学的多个领域中都具有重要意义，并且构成了所谓的 Littlewood-Paley 理论的基础。

为了在 上构造分解，令 为具有支撑的实值径向隆起函数

(1)

在集合 上等于 1，其中

(2)

接下来，对于 ，令 为支撑在环域上的隆起函数

(3)

其导数满足不等式

(4)

对于某个正数 和所有多重指标 。通过构造，隆起函数 满足

(5)

对于所有 ，从而提供了一个特定的单位分解，它允许将 中的任意函数 分解为

(6)

其中 是一个投影算子（所谓的 Littlewood-Paley 投影算子之一），由下式定义

(7)

其中 和 分别表示 在 中的正向和逆向傅里叶变换。函数 的这种分解称为其 Littlewood-Paley 分解。

虽然上述分解是针对假定为平方可积的函数 ，但人们可以类似地分解几乎任何在无穷远处具有某种衰减的函数，例如，任何 Schwartz 函数 。然而，对于 中的函数 ，Littlewood-Paley 分解满足许多重要性质。例如，-可积函数 与 上的梯度算子 结合满足

(8)

且

(9)

这些事实暗示了启发式关系

(10)

因此， 中的导数可以（启发式地）分解为 Littlewood-Paley 算子的线性组合。此外，根据 Minkowski 不等式，

(11)

这个不等式与之前的导数估计相结合，暗示了所谓的非端点 Sobolev 嵌入不等式

(12)

对于所有 在 中的函数 ，只要右侧是有限的，并且 满足 。在 且 的情况下，上述估计也允许人们证明所谓的端点 Sobolev 嵌入不等式

(13)

对于所有 在 中的函数 ，只要右侧是有限的，并且 满足 。这些 Sobolev 嵌入不等式可以使用分数阶微分和积分算子进一步扩展，以证明标准的 Sobolev 嵌入定理，这一事实使得 Littlewood-Paley 分解在 Sobolev 空间和相关空间的研究中特别重要。

在实践中，上述分解有时被称为 的齐次 Littlewood-Paley 分解，并与另一种性质相似但不同的分解区分开来，后者称为非齐次 Littlewood-Paley 分解。为了定义后者，写成

(14)

使得

(15)

并重做上述构造，使得 （而不是 ）。虽然细微，但这种区别导致了某些函数空间的齐次和非齐次版本的定义，这种区分在许多情况下至关重要。