分数阶积分

记 阶导数为 derivative ，n 重积分为 integral 。那么

(1)

现在，如果等式

(2)

对于多重积分对于 成立，那么

			(3)
			(4)

交换积分顺序得到

(5)

但是 (3) 对于 成立，因此通过 induction 归纳法对于所有 也成立。阶数为 的 的分数阶积分可以定义为

(6)

其中 是 gamma function 伽玛函数。

更一般地，分数阶积分的 Riemann-Liouville operator Riemann-Liouville 算子定义为

(7)

对于 ，其中 (Oldham and Spanier 1974, Miller and Ross 1993, Srivastava and Saxena 2001, Saxena 2002)。

1/2 阶的分数阶积分称为 semi-integral 半积分。

很少有函数的分数阶积分可以用 elementary functions 初等函数表示。例外包括

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			(10)
			(11)

其中 是下 incomplete gamma function 不完全伽玛函数， 是 Et-function Et 函数。从 (10) 式，常数函数 constant function 的分数阶积分由下式给出

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			(13)

分数阶导数也可以类似地定义。对分数阶导数和积分的研究称为 fractional calculus 分数阶微积分。