单位分解

给定一个光滑流形 和一个开覆盖 ，服从覆盖 的单位分解是一组光滑的、非负的函数 ，使得 的支撑集包含在 中，并且 处处成立。通常要求 具有紧闭包，可以解释为有限的或有界的开集。在 是局部有限覆盖的情况下，任何点 仅有有限个 使得 。

单位分解可以用于将局部定义的对象拼合在一起。例如，总是存在光滑的全局向量场，可能在某些地方消失，但不是恒等于零。用坐标图 覆盖 ，使得任何点只被有限个坐标图重叠覆盖。在每个坐标图 上，存在局部向量场 。将它们标记为 ，并且对于每个图，选择向量场 。那么 是一个全局向量场。这个求和是收敛的，因为在任何 处，只有有限个 。

其他应用需要将对象解释为函数，或者称为丛截面的函数推广，例如黎曼度量。通过将这样的度量视为丛的截面，很容易证明在任何光滑流形上都存在光滑度量。证明使用了单位分解，并且与上面使用的证明类似。

严格来说，求和 不必恒等于 1 才能使论证成立。之所以得名，是因为在每个点，这些函数都对值 1 进行分割。此外，从凸性的角度来看，这也很方便。