Sobolev 嵌入定理是泛函分析中的一个结果，它证明了某些Sobolev 空间 
可以嵌入到各种空间中，包括 
、
和 
，对于各种域 
、
在 
中，以及各种值 
、
、
、
、
、
和 
（通常取决于域 
和 
的属性）。由于可能存在许多这样的嵌入，因此许多单独的结果可能被称为“Sobolev 嵌入定理”，而实际上，“Sobolev 嵌入定理”这一短语最好被认为是包含所有此类结果的总称。
为了继续，设 
是 
中的一个域（即，一个有界的、连通的开集），并设 
是 
与 
维超平面在 
中的交集，对于 
。设 
、
为整数，并设 
。在这些构造下，我们有一系列函数空间嵌入，这些嵌入的集合将被称为 Sobolev 嵌入定理。
例如，如果 
满足所谓的“锥条件”（即，如果存在一个有限锥 
，使得每个 
都是一个有限锥 
的顶点，该锥包含在 
中且与 
全等），则
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(1)
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如果 
或 
且 
。对于这样的 
、
和 
，我们也有
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(2)
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和
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(3)
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对于 
。如果相反 
，则
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(4)
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和
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(5)
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对于 
。最后，如果 
并且如果 
或如果 
且 
，则
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(6)
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和
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(7)
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对于 
。请注意，上述嵌入本质上都归功于 Sobolev，并且仅取决于 
、
、
、
、
、
以及锥条件中锥 
的维度。
其他类型的域也提供了一些嵌入。如果 
满足所谓的“强局部 Lipschitz 条件”（即，如果边界 
上的每个点 
都有一个邻域 
，其与 
的交集是一个 Lipschitz 函数的图），例如，那么 (1) 的目标空间 
可以用更小的空间 
替换。此外，如果 
，则
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(8)
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对于 
。如果相反 
，则
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(9)
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其中 (9) 也适用于 
，前提是 
且 
。
许多上述结果可以通过所谓的 Sobolev 嵌入不等式来完全或几乎完全证明。这些不等式源于 Littlewood-Paley 分解，对于 
，函数 
在 L-p 空间中。实际上，在这种情况下，闵可夫斯基不等式与这样一个函数 
的 Littlewood-Paley 分解相结合，意味着许多不等式，例如，
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(10)
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当 
满足 
时。在 
和 
的情况下，存在一个类似的不等式
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(11)
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其中 
满足 
。只要各自的右侧是有限的，不等式 (10) 和 (11) 就成立，并且可以使用分数阶微分和分数阶积分算子进一步扩展，以产生许多先前陈述的嵌入结果。
上述结果可以进一步修改，以允许更一般的嵌入。例如，如果上面嵌入的 
空间被 
Sobolev 空间（即，函数的 Sobolev 空间，其 迹算子的 
阶导数对于所有 
都消失）替换，则对于 
中的任意域 
，所得嵌入都成立。此外，可以证明，与上述锥条件相关的嵌入仍然适用于仅满足“弱化锥条件”的域 
。
