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分数阶导数

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函数 f(t) 的 mu>0 阶分数阶导数（如果存在）可以用分数阶积分 D^(-nu)f(t) 定义为

D^muf(t)=D^m[D^(-(m-mu))f(t)],
(1)

其中 m 是整数 >=[mu], 其中 [x] 是 上限函数。半导数 对应于 mu=1/2。

函数 t^lambda 的分数阶导数由下式给出

D^mut^lambda=D^m[D^(-(m-mu))t^lambda]
(2)
=D^m[(Gamma(lambda+1))/(Gamma(lambda+m-mu+1))t^(lambda+m-mu)]
(3)
=(Gamma(lambda+1)(lambda-mu+m)(lambda-mu+m-1)...(lambda-mu+1))/(Gamma(1+m+lambda-mu))t^(lambda-mu)
(4)
=(Gamma(lambda+1)(1+lambda-mu)_m)/(Gamma(1+m+lambda-mu))t^(lambda-mu)
(5)
=(Gamma(lambda+1))/(Gamma(lambda-mu+1))t^(lambda-mu)
(6)

对于 lambda>-1,mu>0。 常数函数 f(t)=c 的分数阶导数然后由下式给出

D^muc=clim_(lambda->0)(Gamma(lambda+1))/(Gamma(lambda-mu+1))t^(lambda-mu)
(7)
=(ct^(-mu))/(Gamma(1-mu)).
(8)

Et 函数的分数阶导数由下式给出

D^rhoE_t(nu,a)=E_t(nu-rho,a)
(9)

对于 nu>0,rho!=0。

对于 mu,nu>0，总是成立

D^(-mu)D^(-nu)=D^(-(mu+nu)),
(10)

但并非总是成立

D^muD^nu=D^(mu+nu).
(11)

分数阶导数在 Wolfram 语言 中实现为FractionalD.

分数阶积分也可以类似地定义。对分数阶导数和积分的研究称为分数阶微积分。

参见

分数阶微积分, 分数阶微分方程, '分数阶积分, 半导数

使用 探索

参考文献

Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; 和 Trujiilo, J. J. 分数阶微分方程的理论与应用。 阿姆斯特丹，荷兰：Elsevier，2006 年。Love, E. R. "虚阶分数阶导数。" J. London Math. Soc. 3, 241-259, 1971.Miller, K. S. "非整数阶导数。" Math. Mag. 68, 183-192, 1995.Oldham, K. B. 和 Spanier, J. 分数阶微积分：任意阶的积分和微分。 纽约：Academic Press，1974 年。Samko, S. G.; Kilbas, A. A.; 和 Marichev, O. I. 分数阶积分和导数。 伊韦尔东，瑞士：Gordon and Breach，1993 年。

在 上引用

分数阶导数

请引用为

Weisstein, Eric W. "分数阶导数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FractionalDerivative.html

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