模块张量积

在模 和 之间的张量积是比向量空间张量积更一般的概念。在这种情况下，我们将“标量”替换为环 。熟悉的公式仍然成立，但现在 是 的任意元素，

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这推广了向量空间的张量积定义，因为向量空间是标量域上的模。此外，向量丛可以被视为函数环上的投射模，而群 的群表示可以被认为是 CG 上的模。这种推广也涵盖了这些类型的张量积。

对于模的张量积，存在一些在向量空间情况下不会发生的有趣的可能情况。 可能恒等于零。例如， 和 作为整数上的模的张量积，，没有非零元素。足以看出 。注意到 。那么

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因为 在 中，且 在 中。一般来说，证明元素为零比证明它们非零更容易。

张量积的另一个有趣的性质是，如果 是一个满射，那么对于任何其他模 ，诱导映射 也是满射。但如果 是单射，那么 可能不是单射。

例如，，其中 是单射，但 ，其中 ，不是单射。在 中，我们有 。

对于这种单射失败有一种代数描述，称为 Tor 模。

思考张量积的另一种方式是根据其泛性质：从 到 的任何双线性映射都通过自然的双线性映射分解。