在模 和
之间的张量积是比向量空间张量积更一般的概念。在这种情况下,我们将“标量”替换为环
。熟悉的公式仍然成立,但现在
是
的任意元素,
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(2)
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(3)
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这推广了向量空间的张量积定义,因为向量空间是标量域上的模。此外,向量丛可以被视为函数环上的投射模,而群 的群表示可以被认为是 CG 上的模。这种推广也涵盖了这些类型的张量积。
对于模的张量积,存在一些在向量空间情况下不会发生的有趣的可能情况。 可能恒等于零。例如,
和
作为整数上的模的张量积,
,没有非零元素。足以看出
。注意到
。那么
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因为 在
中,且
在
中。一般来说,证明元素为零比证明它们非零更容易。
张量积的另一个有趣的性质是,如果 是一个满射,那么对于任何其他模
,诱导映射
也是满射。但如果
是单射,那么
可能不是单射。
例如,,其中
是单射,但
,其中
,不是单射。在
中,我们有
。
对于这种单射失败有一种代数描述,称为 Tor 模。