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拉普拉斯方程——球坐标系

在 球坐标系 中，尺度因子 为 h_r=1, h_theta=rsinphi, h_phi=r，分离函数为 f_1(r)=r^2, f_2(theta)=1, f_3(phi)=sinphi，得到 Stäckel 行列式 为 S=1。

拉普拉斯算符 是

del ^2=1/(r^2)partial/(partialr)(r^2partial/(partialr))+1/(r^2sin^2phi)(partial^2)/(partialtheta^2)+1/(r^2sinphi)partial/(partialphi)(sinphipartial/(partialphi)).
(1)

为了在 球坐标系 中求解 拉普拉斯方程，尝试通过写入 变量分离法

F(r,theta,phi)=R(r)Theta(theta)Phi(phi).
(2)

那么 亥姆霍兹微分方程 变为

(d^2R)/(dr^2)PhiTheta+2/r(dR)/(dr)PhiTheta+1/(r^2sin^2phi)(d^2Theta)/(dtheta^2)PhiR+(cosphi)/(r^2sinphi)(dPhi)/(dphi)ThetaR+1/(r^2)(d^2Phi)/(dphi^2)ThetaR=0.
(3)

现在除以 RThetaPhi,

(r^2sin^2phi)/(PhiRTheta)PhiTheta(d^2R)/(dr^2)+2/r(r^2sin^2phi)/(PhiRTheta)PhiTheta(dR)/(dr)+1/(r^2sin^2phi)(r^2sin^2phi)/(PhiRTheta)PhiR(d^2Theta)/(dtheta^2)+(cosphi)/(r^2sinphi)(r^2sin^2phi)/(PhiThetaR)(dPhi)/(dphi)ThetaR+1/(r^2)(r^2sin^2phi)/(PhiRTheta)(d^2Phi)/(dphi^2)ThetaR=0
(4)
((r^2sin^2phi)/R(d^2R)/(dr^2)+(2rsin^2phi)/R(dR)/(dr))+(1/Theta(d^2Theta)/(dtheta^2)) +((cosphisinphi)/Phi(dPhi)/(dphi)+(sin^2phi)/Phi(d^2Phi)/(dphi^2))=0.
(5)

方程 (5) 第二部分的解必须是正弦型的，所以微分方程是

(d^2Theta)/(dtheta^2)1/Theta=-m^2,
(6)

其解可以定义为 复 函数，其中 m=-infty, ..., infty

Theta(theta)=A_me^(imtheta),
(7)

或者定义为 实 数正弦和余弦函数的和，其中 m=-infty, ..., infty

Theta(theta)=S_msin(mtheta)+C_mcos(mtheta).
(8)

将 (6) 代入 (7),

(r^2)/R(d^2R)/(dr^2)+(2r)/R(dR)/(dr)+1/(sin^2phi)((cosphisinphi)/Phi(dPhi)/(dphi)+(sin^2phi)/Phi(d^2Phi)/(dphi^2)-m^2)=0.
(9)

径向部分必须等于一个常数

(r^2)/R(d^2R)/(dr^2)+(2r)/R(dR)/(dr)=l(l+1)
(10)
r^2(d^2R)/(dr^2)+2r(dR)/(dr)=l(l+1)R.
(11)

但这是 欧拉微分方程，所以我们尝试 形如

R=sum_(n=0)^inftya_nr^(n+c).
(12)

那么

r^2sum_(n=0)^infty(n+c)(n+c-1)a_nr^(n+c-2)+2rsum_(n=0)^infty(n+c)a_nr^(n+c-1) -l(l+1)sum_(n=0)^inftya_nr^(n+c)=0
(13)
sum_(n=0)^infty(n+c)(n+c-1)a_nr^(n+c)+2sum_(n=0)^infty(n+c)a_nr^(n+c) -l(l+1)sum_(n=0)^inftya_nr^(n+c)=0
(14)
sum_(n=0)^infty[(n+c)(n+c+1)-l(l+1)]a_nr^(n+c)=0.
(15)

这对于 幂 r 的所有次幂都必须成立。对于 r^c 项（其中 n=0),

c(c+1)=l(l+1),
(16)

这仅当 c=l,-l-1 且所有其他项消失时才成立。所以对于 n!=l, -l-1，a_n=0。因此，R 分量的解由下式给出

R_l(r)=A_lr^l+B_lr^(-l-1).
(17)

将 (17) 代回 (◇),

l(l+1)-(m^2)/(sin^2phi)+(cosphi)/(sinphi)1/Phi(dPhi)/(dphi)+1/Phi(d^2Phi)/(dphi^2)=0
(18)
Phi^('')+(cosphi)/(sinphi)Phi^'+[l(l+1)-(m^2)/(sin^2phi)]Phi=0,
(19)

这是关于 x=cosphi 和 m=0, ..., l 的 连带勒让德微分方程。因此，一般 复 数解是

sum_(l=0)^inftysum_(m=-l)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)e^(-imtheta) =sum_(l=0)^inftysum_(m=-1)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))Y_l^m(theta,phi),
(20)

其中

Y_l^m(theta,phi)=P_l^m(cosphi)e^(-imtheta)
(21)

是（复 数）球谐函数。一般 实 数解是

sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)[S_msin(mtheta)+C_mcos(mtheta)].
(22)

P_l^m 的一些归一化常数可以被 S_m 和 C_m 吸收，所以这个方程可能以以下形式出现

sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)[S_l^msin(mtheta)+C_l^mcos(mtheta)] =sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))×[S_l^mY_l^(m(o))(theta,phi)+C_l^mY_l^(m(e))(theta,phi)],
(23)

其中

Y_l^(m(o))(theta,phi)=P_l^m(cosphi)sin(mtheta)
(24)
Y_l^(m(e))(theta,phi)=P_l^m(cosphi)cos(mtheta)
(25)

是 偶 和 奇 （实数）球谐函数。如果存在方位角对称性，则 Theta(theta) 是常数，并且 Phi 分量的解是 勒让德多项式 P_l(cosphi)。那么，一般解是

F(r,phi)=sum_(l=0)^infty(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l(cosphi).
(26)

另请参阅

亥姆霍兹微分方程——球坐标系

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参考文献

Byerly, W. E. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, p. 244, 1959.Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 27, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 514 and 658, 1953.

请引用本文献为

Weisstein, Eric W. “拉普拉斯方程——球坐标系。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LaplacesEquationSphericalCoordinates.html

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