L^2-空间

在 测度空间 上，平方可积 L2-函数 的集合是一个 -空间。与关于 L^2 内积 和 测度 一起考虑，

(1)

-空间构成一个 希尔伯特空间。 -空间中的函数满足

(2)

和

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(4)

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(6)

(7)

不等式 (7) 称为施瓦茨不等式。

基本例子是当 且具有 勒贝格测度 时。另一个重要的例子是当 是正整数时，在这种情况下，它表示为 ，或 “little ell-two”。这些是平方可和级数。

严格来说，-空间实际上由函数的等价类组成。如果它们不同的集合的测度为零，则两个函数表示相同的 -函数。不难看出，这使得 成为内积，因为 当且仅当 几乎处处成立。思考 -函数的一个好方法是将其视为密度函数，因此只有它在正测度集上的积分才重要。

在实践中，这不会造成太多麻烦，除非在微分方程中的边界条件需要格外小心。问题在于，对于任何特定点 ， 的值对于 -函数 不是明确定义的。

如果 -函数在欧几里得空间中可以由连续函数 表示，则 是唯一的连续代表。在这种情况下，将 -函数视为连续函数 是无害的。此外，通常方便地将 视为连续函数关于 L^2 范数的完备化。