希尔伯特函数 -- 来自 Wolfram MathWorld

给定一个有限生成的 -分次模在分次环上（有限生成于上，是一个阿廷局部环），的希尔伯特函数是映射，使得对于所有 ,

(1)

其中表示长度。如果是的维数，那么存在一个多项式，其次数为，且具有有理系数（称为的希尔伯特多项式），使得对于所有充分大的成立。

幂级数

(2)

被称为的希尔伯特级数。它是一个有理函数，可以唯一地写成以下形式

(3)

其中是和的幂的具有整数系数的有限线性组合。如果是正分次的，即对于所有，那么是变量的具有整数系数的普通多项式。此外，如果，则，即希尔伯特级数是一个多项式。

如果有一个有限分次自由分解

(4)

那么

(5)

此外，如果是上的度数为 1 的齐次元素的正则序列，那么 -维商模的希尔伯特函数是

(6)

特别地，

(7)

这些性质为计算多项式环上有限生成的分次模的希尔伯特级数提供了有效的方法，其中是一个域。

维度为的的希尔伯特级数可以通过考虑的最大正则序列，以及 0 维商环的希尔伯特函数获得，它与的希尔伯特函数相同。现在，且对于所有，。因此。由此得出是常数多项式 1，因此

(8)

这种方法可以应用于所有 Cohen-Macaulay 商环，其中是由齐次多项式生成的理想。第一步是找到由度数为 1 的齐次多项式组成的的最大正则序列；在这里，由于 Cohen-Macaulay 性质，。这将产生一个 0 维环（的所谓的阿廷约化），其希尔伯特级数是多项式。根据 (5) 和 (6)，结果是

(9)

例如，如果，这是一个 1 维 Cohen-Macaulay 环，阿廷约化是。它的希尔伯特级数可以很容易地从定义中确定：对于所有，，而对于所有，，因为向量空间在上的长度与其维度相同。由于在中，和的所有倍数均为零，我们有

			(10)
			(11)
			(12)

因此，这是。根据 (8) 可知

(13)

同样的结果可以通过首先构造在上的分次自由分解来获得，

(14)

这得到，而其余的为零。因此，根据 (4) 和 (7)，

			(15)
			(16)
			(17)

如上所述。我们将其重写为幂级数的形式，

			(18)
			(19)

由此，根据 (2)，我们可以检索希尔伯特函数的值，

{H(S,a)=0 for a<0; H(S,0)=1 ; H(S,a)=2 for a>=1.

(20)

由此可知，的希尔伯特多项式是常数多项式。

更一般地，的分次自由分解，其中是理想在中，且是度数为的多项式，是

(21)

且的希尔伯特级数为

(22)

对于更复杂的理想，计算需要使用 Gröbner 基，以及 Eisenbud (1995)、Fröberg (1997) 或 Kreuzer 和 Robbiano (2000) 解释的技术。

从历史上看，希尔伯特函数出现在代数几何中，用于研究射影平面中的有限点集，如下所示（Cayley 1843，Eisenbud等人1996）。设 $Gamma={p_1,...,p_m} subset P^2$ 是个不同点的集合。那么对度数为的形式施加的条件数称为的希尔伯特函数。如果度数为和的曲线和在的个点的集合中相遇，那么对于任何，由对度数为的形式施加的条件数与和无关，并由下式给出