Gröbner 基

Gröbner 基 对于 多项式 系统 是一个等价系统，它具有有用的性质，例如，另一个多项式 是 中多项式的组合 当且仅当 关于 的余数为 0 时成立。（这里，除法算法需要 序 关系，该序关系是关于 单项式 的特定类型。）此外，Gröbner 基中的多项式集合与原始多项式具有相同的根集合。对于任意变量数量的线性函数，Gröbner 基等价于高斯消元法。

计算 Gröbner 基的算法被称为 布赫伯格算法。对于大型多项式系统，计算 Gröbner 基通常是一个非常耗时的过程（Trott 2006，第 37 页）。

Gröbner 基在符号代数算法的构造中非常普遍，并且关于字典序的 Gröbner 基对于求解方程和消除变量非常有用。例如，以下 Wolfram 语言 命令通过从描述该系统的五个方程组中消除变量 、、 和 ，来求解逻辑斯蒂映射中参数 中周期-4 分岔的开始。

  Factor /@ GroebnerBasis[
    {
      x2 - r x1(1 - x1),
      x3 - r x2(1 - x2),
      x4 - r x3(1 - x3),
      x1 - r x4(1 - x4),
      r^4(1 - 2x1)(1 - 2x2)(1 - 2x3)(1 - 2x4) + 1
    },
    r,
    {x1, x2, x3, x4},
    MonomialOrder -> EliminationOrder
  ]

由于计算 Gröbner 基可能在计算上非常昂贵，因此有时可以通过手动计算连续方程对的结式，以迭代方式在每个步骤消除一个变量，从而更容易地从方程组中消除变量。

Gröbner 基的确定非常粗略地类似于从一组基 向量计算标准正交基，并且可以粗略地描述为高斯消元法（对于线性系统）和欧几里得算法（对于域上的单变量多项式）的组合。

计算 Gröbner 基所需的时间和内存很大程度上取决于变量排序、单项式排序以及哪些变量被视为常数。 Gröbner 基在 Wolfram 语言的许多例程中隐式使用，并且可以使用以下命令显式调用GroebnerBasis[多项式1, 多项式2, ..., x1, x2, ...].

在计算 Gröbner 基以从方程组中消除三角函数的常见情况下，魏尔斯特拉斯替换

			(1)
			(2)

其中 可以（但并非总是）优先于使用 和 以及附加方程 ，因为它们减少了变量的数量（Trott 2006，第 39 页）。

Buchberger 和 Zapletal 维护着关于 Gröbner 基的参考书目。

在电视剧《数字追凶》第四季的开篇剧集“信任度量”（2007 年）中，数学天才查理·艾普斯提到他曾使用 Gröbner 基试图推导出一个描述友谊的方程式。