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泊松核

泊松积分中的积分核，由下式给出

K(psi)=1/(2pi)(1-|z_0|^2)/(|z_0-e^(ipsi)|^2)
(1)

对于开单位圆盘 D(0,1)。 写作 z_0=re^(itheta) 并取 D(0,R) 得到

K(r,theta)=1/(2pi)R[(R+re^(itheta))/(R-re^(itheta))]
(2)
=1/(2pi)R[((R+re^(itheta))(R-re^(-itheta)))/((R-re^(itheta))(R-re^(-itheta)))]
(3)
=1/(2pi)R[(R^2-rR(e^(itheta)-e^(-itheta))-r^2)/(R^2-rR(e^(itheta)+e^(-itheta))+r^2)]
(4)
=1/(2pi)R[(R^2+2irRsintheta-r^2)/(R^2-2Rrcostheta+r^2)]
(5)
=1/(2pi)(R^2-r^2)/(R^2-2Rrcostheta+r^2)
(6)

（Krantz 1999，第 93 页）。

在三维空间中，

u(y)=(R(R^2-a^2))/(4pi)int_0^(2pi)int_0^pi(f(theta,phi)sinthetadthetadphi)/((R^2+a^2-2aRcosgamma)^(3/2)),
(7)

其中 a=|y| 且

cosgamma=y·[Rcosthetasinphi; Rsinthetasinphi; Rcosphi].
(8)

对于 n-球，泊松核是

P(x,z)=1/(2-n)(D_(n)v)(z),
(9)

其中 D_(n) 是在单位 n-球面上的点 z 处的向外法向导数，且

v(z)=|z-x|^(2-n)-|x|^(2-n)|(x)/(|x|^2)|^(2-n).
(10)

设 u 在闭单位圆盘 D^_(0,1) 的邻域上是调和的，那么泊松核的再生性质表明，对于 z in D(0,1)，

u(z)=1/(2pi)int_0^(2pi)u(e^(ipsi))(1-|z|^2)/(|z-e^(ipsi)|^2)dpsi
(11)

（Krantz 1999，第 94 页）。

另请参阅

狄利克雷问题, 调和函数, 均值性质, 泊松积分

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参考文献

Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 积分表、级数与乘积，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. 1090, 2000。Krantz, S. G. “泊松核。”复变函数手册。 §7.3.2，Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

泊松核

请引用为

Weisstein, Eric W. “泊松核。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PoissonKernel.html

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