施瓦茨反射原理

假设 是一个 解析函数，它定义在 上半圆盘 中。进一步假设 扩展到 实轴 上的连续函数，并在 实轴 上取实数值。那么 可以通过以下公式扩展到整个圆盘上的 解析函数

并且对于 反射过 实轴 的值是 反射过 实轴 的反射。很容易检查上述函数在 下半圆盘 的内部是 复可微 的。值得注意的是，即使没有可微性的假设，结果函数也必须沿 实轴 解析。

这被称为施瓦茨反射原理，有时也称为施瓦茨对称原理（Needham 2000，p. 257）。上面的图表显示了应用于为 上半圆盘 定义的函数 （左图；红色）及其图像（右图；红色）的反射原理。该函数在实轴上是实值的，因此可以将该函数扩展到反射域（左图和右图；粉色）。

为了使反射函数连续，边界上的值必须是连续的，并且落在被反射的线上。反射原理也适用于沿任何直线（而不仅仅是 实轴）反射的普遍性，在这种情况下，函数 必须在范围内沿直线取值。实际上，任何具有与直线双全纯邻域的弧都可以跨越反射。基本示例是 单位圆 的边界，它通过 映射到 实轴。

反射原理也可以用于反射 调和函数，该函数在其边界上连续扩展到零函数。在这种情况下，对于负 ，定义

将 扩展到反射域上的调和函数。再次注意， 是必要的。这个结果提供了一种将调和函数从给定的 开集 扩展到更大的 开集 的方法（Krantz 1999，p. 95）。